Сколько времени требуется для полураспада радона, если его количество уменьшилось в восемь раз за 11,4 дня?

Сквозь_Подземелья

51

Хорошо, давайте посчитаем время полураспада радона.

Дано, что количество радона уменьшается восемь раз за 11,4 дня. Величина, на которую уменьшается количество вещества при каждом полураспаде, называется коэффициентом полураспада. Обозначим его буквой k.

Так как количество радона уменьшается восемь раз, то после одного полураспада останется \(\frac{1}{8}\) от начального количества.

Формула, связывающая количество оставшегося вещества с количеством вещества в начальный момент времени, выглядит следующим образом:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

где N - оставшееся количество радона, \(N_0\) - начальное количество радона, t - время, прошедшее с начального момента времени, \(T_{1/2}\) - время полураспада.

В нашем случае, после одного полураспада осталось \(\frac{1}{8}\) от начального количества радона, поэтому:

\[\frac{1}{8} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм от обеих частей:

\[\log{\left(\frac{1}{8}\right)} = \log{\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right)}\]

Используя свойства логарифмов, мы можем записать это уравнение в более удобной форме:

\[-3 = \frac{t}{T_{1/2}} \cdot \log{\left(\frac{1}{2}\right)}\]

Теперь разрешим это уравнение относительно \(T_{1/2}\).

Сначала найдем значение \(\log{\left(\frac{1}{2}\right)}\):

\[\log{\left(\frac{1}{2}\right)} = -\log{2} = -0.3010\]

Теперь заменим значение \(\log{\left(\frac{1}{2}\right)}\) в уравнении:

\[-3 = \frac{t}{T_{1/2}} \cdot (-0.3010)\]

Для того чтобы избавиться от дроби в уравнении, умножим обе части на \(-T_{1/2}\):

\[-3 \cdot (-T_{1/2}) = t \cdot (-0.3010)\]

Сокращая минусы:

\[3 \cdot T_{1/2} = 0.3010 \cdot t\]

Теперь разделим обе части уравнения на 0.3010:

\[3 \cdot \frac{T_{1/2}}{0.3010} = t\]

Вычисляя значение \(\frac{T_{1/2}}{0.3010}\), получаем:

\[9.9668 \cdot T_{1/2} = t\]

Таким образом, время полураспада радона равно t = 9.9668 \(T_{1/2}\).

Ответ: Время полураспада радона составляет 9.9668 \(T_{1/2}\).