Сколько времени займет вертикальное движение тела для достижения верхней точки, если оно уже прошло последние 1/4 пути

Вечная_Мечта

23

Для решения данной задачи можно воспользоваться уравнением равноускоренного прямолинейного движения. Обозначим время, за которое тело достигнет верхней точки, как \(t\). За первые 3 секунды тело прошло последние \(1/4\) пути, следовательно, за \(t-3\) секунды оно пройдет оставшуюся \(3/4\) пути.

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения имеет вид:
\[h = v_0t + \frac{1}{2}at^2\]
где \(h\) - пройденное расстояние, \(v_0\) - начальная скорость, \(t\) - время, \(a\) - ускорение.

Верхняя точка представляет собой половину всего пути, так как тело движется сначала вверх, а затем вниз. Следовательно, пройденное расстояние равно \(h = \frac{1}{2}\).

Заменим все известные значения в уравнении:
\[\frac{1}{2} = v_0(t-3) + \frac{1}{2}at^2\]

Так как движение вертикальное и противоположно направленное, ускорение \(a\) будет равно ускорению свободного падения, \(a = 9.8 \, \text{м/c}^2\).

Теперь нам нужно решить это уравнение для \(t\) и \(v_0\).

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[\frac{1}{2} = v_0t - 3v_0 + \frac{1}{2}at^2\]
\[\frac{1}{2} = v_0t - 3v_0 + \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2\]
\[\frac{1}{2} = (9.8 \cdot t^2 + v_0t) - 3v_0\]
\[0 = 9.8 \cdot t^2 + v_0t - 3v_0 - \frac{1}{2}\]
\[0 = 9.8 \cdot t^2 + (v_0 - 3v_0)t - \frac{1}{2}\]

Уравнение является квадратным и мы можем решить его, используя дискриминант:
\[D = (v_0 - 3v_0)^2 - 4 \cdot 9.8 \cdot \left(- \frac{1}{2}\right)\]

Решим это уравнение в общем виде, чтобы определить значения для \(t\) и \(v_0\):
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Вычислим дискриминант:
\[D = (2v_0)^2 - 4 \cdot 9.8 \cdot \left(- \frac{1}{2}\right)\]
\[D = 4v_0^2 + 4 \cdot 9.8 \cdot \frac{1}{2}\]
\[D = 4v_0^2 + 9.8\]

Теперь решим уравнение для \(t\) с использованием дискриминанта:
\[t = \frac{-(v_0 - 3v_0) \pm \sqrt{4v_0^2 + 9.8}}{2 \cdot 9.8}\]
\[t = \frac{-2v_0 \pm \sqrt{4v_0^2 + 9.8}}{19.6}\]

Мы видим, что у нас есть два возможных значения для времени \(t\). Так как значение времени не может быть отрицательным, возьмем только положительное значение:
\[t = \frac{-2v_0 + \sqrt{4v_0^2 + 9.8}}{19.6}\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором остается только одна неизвестная величина - начальная скорость \(v_0\). Давайте решим это уравнение, чтобы найти \(v_0\):

С учетом условия, что \(t-3 = \frac{1}{4}\):
\[\frac{1}{4} = \frac{-2v_0 + \sqrt{4v_0^2 + 9.8}}{19.6}\]

Умножим обе части уравнения на 19.6 для упрощения вычислений:
\[4.9 = -2v_0 + \sqrt{4v_0^2 + 9.8}\]

Теперь запишем это уравнение в квадратичной форме и решим его для \(v_0\):
\[4v_0^2 - 2 \cdot 19.6 \cdot v_0 + (9.8)^2 = 0\]

Дискриминант этого квадратного уравнения составляет:
\[D = (2 \cdot 19.6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (9.8)^2\]
\[D = 19.6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (9.8)^2\]

Теперь решим уравнение для \(v_0\) с использованием дискриминанта:
\[v_0 = \frac{-(-2 \cdot 19.6) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 4}\]
\[v_0 = \frac{39.2 \pm \sqrt{D}}{8}\]

Вычислим дискриминант:
\[D = 19.6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (9.8)^2\]
\[D = 382.496\]

Подставим это значение обратно в уравнение для \(v_0\):
\[v_0 = \frac{39.2 \pm \sqrt{382.496}}{8}\]
\[v_0 = \frac{39.2 \pm 19.56}{8}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для начальной скорости \(v_0\):
\[v_0 = \frac{39.2 + 19.56}{8} \approx 7.07 \, \text{м/c}\]
\[v_0 = \frac{39.2 - 19.56}{8} \approx 2.45 \, \text{м/c}\]

Следовательно, начальная скорость тела может быть около 7.07 м/с или около 2.45 м/с. Время, требуемое для вертикального движения тела до верхней точки, равно \(\frac{1}{4} + 3\), т.е. \(t \approx 6\) секунд.