Сколько всего шариков имеется, если их количество меньше 100 и известно, что останется 4 шарика, если их разложить

Пятно

30

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Пусть общее количество шариков будет обозначено буквой \(x\).

Условие задачи говорит о том, что если разложить все шарики по 5 штук в пакетики, то останется 4 шарика. Это означает, что число шариков должно быть на 1 больше кратным числу 5. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[x = 5n + 4,\]

где \(n\) - некоторое целое число, обозначающее количество пакетиков по 5 шариков.

Также, условие говорит о том, что если разложить все шарики по 4 штуки в пакетики, то останется 3 шарика. Это означает, что число шариков должно быть на 1 больше кратным числу 4. Мы можем записать это в виде второго уравнения:

\[x = 4m + 3,\]

где \(m\) - некоторое целое число, обозначающее количество пакетиков по 4 шарика.

И, наконец, условие говорит о том, что если разложить все шарики по 3 штуки в пакетики, то останется 2 шарика. Это означает, что число шариков должно быть на 1 больше кратным числу 3. Мы можем записать это в виде третьего уравнения:

\[x = 3k + 2,\]

где \(k\) - некоторое целое число, обозначающее количество пакетиков по 3 шарика.

У нас есть система трех уравнений, и мы можем решить ее, используя метод подстановки или метод сложения/вычитания. В данном случае, я воспользуюсь методом сложения/вычитания.

Сначала возьмем первые два уравнения:

\[
\begin{align*}
x &= 5n + 4, \\
x &= 4m + 3.
\end{align*}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[
5n + 4 - (4m + 3) = x - x,
\]

что дает нам:

\[
5n - 4m + 1 = 0.
\]

Теперь возьмем первое и третье уравнения:

\[
\begin{align*}
x &= 5n + 4, \\
x &= 3k + 2.
\end{align*}
\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[
5n + 4 - (3k + 2) = x - x,
\]

что дает нам:

\[
5n - 3k + 2 = 0.
\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
5n - 4m + 1 &= 0, \\
5n - 3k + 2 &= 0.
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему методом сложения/вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

\[
(5n - 4m + 1) - (5n - 3k + 2) = 0 - 0,
\]

что дает нам:

\[
-4m - 3k - 1 = 0.
\]

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только две неизвестные, \(m\) и \(k\). Мы можем выбрать значения этих переменных, чтобы уравнение выполнялось. Давайте попробуем \(m = 5\) и \(k = 7\). Подставим значения в уравнение:

\[
-4(5) - 3(7) - 1 = -20 - 21 - 1 = -42 - 1 = -43 \neq 0.
\]

Увы, эти значения не подходят. Возможно, нам следует попробовать другие значения для \(m\) и \(k\). Давайте попробуем \(m = 8\) и \(k = 12\). Подставим значения в уравнение:

\[
-4(8) - 3(12) - 1 = -32 - 36 - 1 = -68 - 1 = -69 \neq 0.
\]

Опять же, значения не подходят. Видно, что мы не можем выбрать конкретные целочисленные значения для \(m\) и \(k\), которые удовлетворяют уравнению.

Однако, нам было известно из условия задачи, что общее количество шариков меньше 100. Это означает, что нам нужно найти наименьшее положительное целое число \(x\), которое удовлетворяет этим условиям.

Из предыдущего рассмотрения видно, что у нас нет конкретного целочисленного решения для данной системы уравнений. Тем не менее, мы можем применить более общую стратегию для решения этой задачи.

Мы знаем, что количество шариков должно быть на 1 больше кратным числу 5, 4 и 3. Мы можем найти наименьшее целое число, которое делится на все эти числа и превышает 100.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 5, 4 и 3, давайте разложим эти числа на простые множители:

\(5 = 5\),
\(4 = 2 \cdot 2\),
\(3 = 3\).

Теперь мы можем составить произведение этих простых множителей, выбирая каждый множитель в его наибольшей степени:

\(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\).

Таким образом, наименьшее общее кратное чисел 5, 4 и 3 равно 60. Нам нужно найти наименьшее целое число \(x\), которое больше 100 и делится на 60.

Делением 100 на 60, мы получаем остаток 40. Таким образом, наименьшее целое число \(x\), удовлетворяющее всем условиям задачи, равно 100 + 60 - 40 = 120. Следовательно, общее количество шариков составляет 120.

Ответ: Общее количество шариков равно 120.