Сколько выстрелов потребуется, чтобы достичь вероятность уничтожения цели не менее 0,98, если при первом выстреле

Щавель

64

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться методом последовательных приближений или методом геометрической прогрессии.

Метод геометрической прогрессии позволяет нам найти количество выстрелов, необходимых для достижения заданной вероятности уничтожения цели. Для этого мы будем рассчитывать вероятность неудачи, т.е. вероятность не попасть в цель.

При первом выстреле вероятность уничтожения цели составляет 0,4, а значит вероятность неудачи равна 1 - 0,4 = 0,6.

При каждом последующем выстреле вероятность уничтожения цели составляет 0,6, а значит вероятность неудачи равна 1 - 0,6 = 0,4.

Теперь нам нужно найти количество выстрелов, при котором вероятность неудачи будет менее 0,02, так как вероятность уничтожения цели будет равна 1 - вероятность неудачи.

Построим геометрическую прогрессию, где каждый следующий член будет представлять собой произведение предыдущего члена на 0,4. То есть, мы будем умножать предыдущий член на 0,4, чтобы получить следующий.

Мы можем записать это в виде уравнения:

\[0,6 \cdot 0,4^{n-1} < 0,02\]

где n - количество выстрелов, а 0,4^{n-1} - вероятность неудачи при n-1 выстрелах.

Теперь решим это уравнение:

\[0,6 \cdot 0,4^{n-1} < 0,02\]

Для упрощения расчетов, разделим данное неравенство на 0,02:

\[30 \cdot 0,4^{n-1} < 1\]

Теперь возьмем логарифм по основанию 0,4 от обеих частей неравенства:

\[\log_{0,4}(30 \cdot 0,4^{n-1}) < \log_{0,4}(1)\]

\[\log_{0,4}(30 \cdot 0,4^{n-1}) < 0\]

Теперь применим логарифмическое свойство, которое гласит, что \(\log_{a}(b \cdot c) = \log_{a}(b) + \log_{a}(c)\):

\[\log_{0,4}(30) + \log_{0,4}(0,4^{n-1}) < 0\]

Так как \(\log_{0,4}(0,4^{n-1}) = n-1\), то дальше упрощаем:

\[\log_{0,4}(30) + n-1 < 0\]

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

\[\log_{0,4}(30) + n < 1\]

Теперь выразим n:

\[n < 1 - \log_{0,4}(30)\]

Округлим это значение до ближайшего целого числа, чтобы найти минимальное количество выстрелов.

\[n < 1 - \log_{0,4}(30) \approx 3\]

Таким образом, количество выстрелов, которое потребуется, чтобы достичь вероятности уничтожения цели не менее 0,98, составляет не менее 3 выстрелов.