Соотношение длин сторон АК и КD в прямоугольнике АВСD изображенном на рисунке равно 3:2. Угол АВК равен 45°, а периметр

Ледяной_Огонь

61

Чтобы найти значение стороны CD в данной задаче, нам потребуется использовать информацию о соотношении длин сторон и угле АВК, а также периметр прямоугольника.

Дано, что соотношение длин сторон АК и КD равно 3:2. Мы можем представить длины этих сторон как \(3x\) и \(2x\), где \(x\) - это неизвестное значение.

Также дано, что угол АВК равен 45°. Поскольку угол АВК является прямым (поскольку он лежит на стороне прямоугольника), то мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины стороны VK.

Используя теорему синусов, мы можем записать отношение длин сторон в треугольнике АВК:

\[
\frac{{VK}}{{AK}} = \frac{{\sin 45°}}{{\sin (90° - 45°)}}
\]

Так как \(\sin 45° = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\) и \(\sin (90° - 45°) = \sin 45° = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\), мы можем упростить формулу:

\[
\frac{{VK}}{{AK}} = \frac{{\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}}{{\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}}} = 1
\]

Следовательно, VK равно AK, то есть \(VK = AK\).

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Мы можем записать это как:

\(2(AK + VK) + 2(DK + VK) = 32\)

Заменяя значениями, полученными ранее, получим:

\(2(3x + x) + 2(2x + x) = 32\)

Упрощая это уравнение:

\(8x = 32\)

Делим обе стороны на 8:

\(x = 4\)

Теперь мы можем найти значение стороны CD, зная, что \(DK = 2x\):

\(CD = DK + VK = 2x + x = 2(4) + 4 = 8 + 4 = 12\)

Таким образом, значение стороны CD в данной задаче равно 12 см.