Составьте уравнение окружности, которая имеет центр на прямой y = 4 и касается оси x в точке (-1

Grigoriy

45

Чтобы составить уравнение окружности, нужно знать ее центр и радиус.

Задача говорит, что центр окружности лежит на прямой \(y = 4\) и окружность касается оси \(x\) в точке \((-1, 0)\).

Так как окружность касается оси \(x\), то расстояние между центром окружности и точкой касания будет равно радиусу окружности.

Радиус окружности - это расстояние от центра до любой точки на окружности.

Таким образом, радиус окружности будет равен расстоянию от центра до точки касания с осью \(x\).

Расстояние от точки \((-1, 0)\) до прямой \(y = 4\) можно рассчитать с использованием формулы для перпендикуляров.

Формула для расстояния между точкой \((x_1, y_1)\) и прямой \(Ax + By + C = 0\) - это \(\dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\).

В нашем случае, коэффициент \(A = 0\), так как прямая параллельна оси \(x\). Коэффициент \(B = 1\) так как уравнение прямой \(y = 4\) переписывается в виде \(0x + 1y - 4 = 0\).

Найдем коэффициент \(C\): подставим в уравнение прямой координаты точки, через которую проходит прямая. Получим: \(0 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 - 4 = 0 + 4 - 4 = 0\).

Обозначим расстояние от центра окружности до опережения \(d\).

Тогда \(\dfrac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \dfrac{|0 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \dfrac{4}{1} = 4\).

Таким образом, радиус окружности равен 4.

Найдем уравнение окружности с центром на прямой \(y = 4\) и радиусом 4.

Формула уравнения окружности с центром в точке \((h, k)\) и радиусом \(r\) - это \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\).

В нашем случае, центр окружности лежит на прямой \(y = 4\), поэтому координаты центра окружности будут \((x, y) = (x, 4)\) - где \(x\) - любое число, так как окружность может быть любым расположением на прямой \(y = 4\).

Используя эти координаты центра и радиус 4, получим:

\((x - x)^2 + (y - 4)^2 = 4^2\).

Упрощаем выражение:

\((y - 4)^2 = 16\).

\((y - 4)(y - 4) = 16\).

\((y - 4)^2 = 16\).

Таким образом, уравнение окружности будет: \(y^2 - 8y + 16 = 16\).

Упростим это уравнение:

\(y^2 - 8y = 0\).

Окончательно, уравнение окружности, которая имеет центр на прямой \(y = 4\) и касается оси \(x\) в точке \((-1, 0)\), будет: \(y^2 - 8y = 0\).