Сосуд заполнен водой и в него бросают кусок алюминиевого сплава. После того, как часть воды вылилась из сосуда, общая

Morskoy_Kapitan

19

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \( V_1 \) - объем воды, вылитой из сосуда при первом измерении,
\( V_2 \) - объем воды, вылитой из сосуда при втором измерении,
\( m \) - масса сосуда,
\( m_1 \) - масса алюминиевого сплава при первом измерении,
\( m_2 \) - масса алюминиевого сплава при втором измерении,
\( \rho_{\text{алюм}} \) - плотность алюминиевого сплава.

Тогда, согласно условию, мы можем записать два уравнения:

\[
m + V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} + m_1 = m + (V_1 - V_2) \cdot \rho_{\text{воды}} + m_2 + 25 \quad (1)
\]

\[
m + V_2 \cdot \rho_{\text{масла}} + m_1 = m + (V_2 - V_1) \cdot \rho_{\text{масла}} + m_2 + 26 \quad (2)
\]

Здесь \( \rho_{\text{воды}} \) - плотность воды, равная 1 г/см\(^3\), а \( \rho_{\text{масла}} \) - плотность масла, равная 0,9 г/см\(^3\).

Введем обозначения:
\( \Delta V = V_1 - V_2 \) - изменение объема сосуда,
\( \Delta m = m_2 - m_1 \) - изменение массы алюминиевого сплава.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

Уравнение (1):
\[
V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} + m_1 = (V_1 - V_2) \cdot \rho_{\text{воды}} + m_2 + 25
\]
Раскроем скобки:
\[
V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} + m_1 = V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} - V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + m_2 + 25
\]
Упростим выражение, сократив \( V_1 \cdot \rho_{\text{воды}} \) с обеих сторон:
\[
m_1 = - V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + m_2 + 25
\]
Выразим \( m_1 \) через \( m_2 \):
\[
m_1 = (- V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + m_2) + 25
\]
или
\[
m_1 = m_2 - V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + 25 \quad (3)
\]

Уравнение (2):
\[
V_2 \cdot \rho_{\text{масла}} + m_1 = (V_2 - V_1) \cdot \rho_{\text{масла}} + m_2 + 26
\]
Раскроем скобки:
\[
V_2 \cdot \rho_{\text{масла}} + m_1 = V_2 \cdot \rho_{\text{масла}} - V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + m_2 + 26
\]
Преобразуем выражение, сократив \( V_2 \cdot \rho_{\text{масла}} \) с обеих сторон:
\[
m_1 = - V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + m_2 + 26
\]
Выразим \( m_1 \) через \( m_2 \):
\[
m_1 = (- V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + m_2) + 26
\]
или
\[
m_1 = m_2 - V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + 26 \quad (4)
\]

Теперь объединим уравнения (3) и (4):

\[
m_2 - V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + 25 = m_2 - V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + 26
\]

Сократим \( m_2 \):
\[
- V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + 25 = - V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + 26
\]

Перегруппируем слагаемые:
\[
- V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} = 26 - 25
\]

Подставим значения плотностей:
\[
- V_2 \cdot 1 + V_1 \cdot 0,9 = 1
\]

Выразим \( V_2 \):
\[
- V_2 + 0,9 \cdot V_1 = 1
\]

Выразим \( V_1 \):
\[
0,9 \cdot V_1 = V_2 + 1
\]

И, наконец, выразим \( V_1 \) через \( m \) и \( \Delta V \):
\[
0,9 \cdot (V_2 + \Delta V) = V_2 + 1
\]

Раскроем скобки:
\[
0,9 \cdot V_2 + 0,9 \cdot \Delta V = V_2 + 1
\]

Сгруппируем слагаемые:
\[
0,9 \cdot \Delta V = 1 - 0,9 \cdot V_2
\]

Выразим \( \Delta V \) через \( V_2 \):
\[
\Delta V = \frac{{1 - 0,9 \cdot V_2}}{{0,9}}
\]

Теперь, используя формулу плотности \( \rho = \frac{m}{V} \), найдем плотность алюминиевого сплава:

При первом измерении:
\[
\rho_1 = \frac{{m_1}}{{V_1}} = \frac{{m_2 - V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + 25}}{{V_1}}
\]

При втором измерении:
\[
\rho_2 = \frac{{m_2}}{{V_2}} = \frac{{m_2 - V_1 \cdot \rho_{\text{масла}} + 26}}{{V_2}}
\]

На данном этапе мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (\( V_1 \) и \( V_2 \)), их можно решить численным методом или подставить значение \( V_1 \) из формулы, которую мы получили ранее:

\[
V_1 = V_2 + \Delta V = V_2 + \frac{{1 - 0,9 \cdot V_2}}{{0,9}}
\]

Подставляя это выражение в формулу для \( \rho_1 \), получим:

\[
\rho_1 = \frac{{m_2 - V_2 \cdot \rho_{\text{воды}} + 25}}{{V_2 + \frac{{1 - 0,9 \cdot V_2}}{{0,9}}}}
\]

Аналогично, подставляя \( V_2 \) из выражения в формуле для \( \rho_2 \), получим:

\[
\rho_2 = \frac{{m_2 - \left( V_2 + \frac{{1 - 0,9 \cdot V_2}}{{0,9}} \right) \cdot \rho_{\text{масла}} + 26}}{{V_2}}
\]

Наконец, чтобы найти плотность алюминиевого сплава, мы можем приравнять \( \rho_1 \) и \( \rho_2 \) и решить полученное уравнение относительно \( m_2 \).

Я надеюсь, что данное пошаговое объяснение поможет вам понять, как найти плотность алюминиевого сплава в данной задаче.