Төбелері А(0;1) В(4;3) С (5;1) Д (1;-1) нүктелері бар төтбұрыштың тіктөртбұрыш болатынын көрсетіңіз және оның ауданын

Sonechka

18

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас есть координаты четырех точек A(0;1), B(4;3), C(5;1) и D(1;-1), и нам нужно определить, является ли данный четырехугольник трапецией и найти его площадь.

Для начала, давайте построим данный четырехугольник на координатной плоскости.

$$\text{Unknown environment 'tikzpicture'}$$

Как вы видите, точки A и B находятся на одной прямой, а точки C и D - на другой прямой параллельной первой. Это говорит о том, что AB и CD - параллельные стороны этой фигуры, а значит, она является трапецией.

Следующим шагом нам нужно найти основания трапеции, которые представляют собой стороны, параллельные друг другу. В нашем случае это стороны AB и CD.

Длина стороны AB можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Подставляя значения координат точек A и B:

$$AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

Аналогично, длину стороны CD можно найти:

$$CD=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Подставляя значения координат точек C и D:

$$CD=\sqrt{(5-1{)}^2+(1-(-1){)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, мы будем использовать следующую формулу:

$$S=\frac{1}{2}(a+b)h$$

где a и b - длины оснований трапеции, а h - высота трапеции.

Мы уже найдем длины оснований: $a=AB=2\sqrt{5}$ и $b=CD=2\sqrt{5}$.

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Высота трапеции - это расстояние между параллельными сторонами AB и CD.

Возьмем произвольную точку на одной из сторон, например, точку A. Тогда, чтобы найти расстояние от этой точки до прямой, проведенной через другую сторону, мы используем формулу:

$$h=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

где Ax + By + C - уравнение прямой, проходящей через другую сторону, A и B - коэффициенты уравнения прямой, определяющей параллельность сторон, и в нашем случае A = B = 1 (так как прямые параллельны), x и y - координаты точки A.

Уравнение прямой, проходящей через сторону CD, можно найти, используя координаты точек C и D:

$$Ax+By+C=0$$

Подставим координаты точки C:

$$1\cdot 5+1\cdot 1+C=0$$

$$5+1+C=0$$

$$C=-6$$

Теперь у нас есть уравнение прямой:

$$x+y-6=0$$

Теперь подставим координаты точки A в формулу для высоты:

$$h=\frac{|0+1-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Теперь мы можем посчитать площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}(2\sqrt{5}+2\sqrt{5})\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{10}\sqrt{2}=5\sqrt{20}=10\sqrt{5}$$

Таким образом, площадь данной трапеции равна $10\sqrt{5}$.

Я надеюсь, что мой подробный и пошаговый ответ был понятен. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.