Төбелері А(0;1) В(4;3) С (5;1) Д (1;-1) нүктелері бар төтбұрыштың тіктөртбұрыш болатынын көрсетіңіз және оның ауданын

Sonechka

18

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас есть координаты четырех точек A(0;1), B(4;3), C(5;1) и D(1;-1), и нам нужно определить, является ли данный четырехугольник трапецией и найти его площадь.

Для начала, давайте построим данный четырехугольник на координатной плоскости.

\[
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,1);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (4,3);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (5,1);
\coordinate[label=left:$D$] (D) at (1,-1);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
\filldraw[black] (A) circle (2pt);
\filldraw[black] (B) circle (2pt);
\filldraw[black] (C) circle (2pt);
\filldraw[black] (D) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\]

Как вы видите, точки A и B находятся на одной прямой, а точки C и D - на другой прямой параллельной первой. Это говорит о том, что AB и CD - параллельные стороны этой фигуры, а значит, она является трапецией.

Следующим шагом нам нужно найти основания трапеции, которые представляют собой стороны, параллельные друг другу. В нашем случае это стороны AB и CD.

Длина стороны AB можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Подставляя значения координат точек A и B:

\[
AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

Аналогично, длину стороны CD можно найти:

\[
CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Подставляя значения координат точек C и D:

\[
CD = \sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, мы будем использовать следующую формулу:

\[
S = \frac{1}{2}(a + b)h
\]

где a и b - длины оснований трапеции, а h - высота трапеции.

Мы уже найдем длины оснований: \(a = AB = 2\sqrt{5}\) и \(b = CD = 2\sqrt{5}\).

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Высота трапеции - это расстояние между параллельными сторонами AB и CD.

Возьмем произвольную точку на одной из сторон, например, точку A. Тогда, чтобы найти расстояние от этой точки до прямой, проведенной через другую сторону, мы используем формулу:

\[
h = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

где Ax + By + C - уравнение прямой, проходящей через другую сторону, A и B - коэффициенты уравнения прямой, определяющей параллельность сторон, и в нашем случае A = B = 1 (так как прямые параллельны), x и y - координаты точки A.

Уравнение прямой, проходящей через сторону CD, можно найти, используя координаты точек C и D:

\[
Ax + By + C = 0
\]

Подставим координаты точки C:

\[
1\cdot 5 + 1\cdot 1 + C = 0
\]

\[
5 + 1 + C = 0
\]

\[
C = -6
\]

Теперь у нас есть уравнение прямой:

\[
x + y - 6 = 0
\]

Теперь подставим координаты точки A в формулу для высоты:

\[
h = \frac{|0 + 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
\]

Теперь мы можем посчитать площадь трапеции:

\[
S = \frac{1}{2}(a + b)h = \frac{1}{2}(2\sqrt{5} + 2\sqrt{5})\cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{10}\sqrt{2} = 5\sqrt{20} = 10\sqrt{5}
\]

Таким образом, площадь данной трапеции равна \(10\sqrt{5}\).

Я надеюсь, что мой подробный и пошаговый ответ был понятен. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.