Тангенс угла между плоскостью, проходящей через середину ребра АА1 и прямую ВС, и плоскостью А1В1С1, может быть найден

Pufik

2

Для решения данной задачи мы можем использовать определение тангенса. Тангенс угла между плоскостью, проходящей через середину ребра АА1 и прямую ВС, и плоскостью А1В1С1, можно найти, используя соотношение длин катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника ABC:

\(\tan(\theta) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилегающий катет}}}\)

В данном случае гипотенузой треугольника ABC является отрезок АС, а катетами являются отрезки АВ и ВВ1, значения которых уже даны в условии задачи: АВ = 4 и ВB1 = 12.

Теперь давайте найдем длину гипотенузы АС. Мы видим, что отрезок АС является диагональю основания прямой призмы АВСА1B1С1, формирующей прямоугольный треугольник ABC. Исходя из этого, можем применить теорему Пифагора:

\[АС = \sqrt{{АB^2 + ВB1^2}} = \sqrt{{4^2 + 12^2}} = \sqrt{{16 + 144}} = \sqrt{{160}} = 4\sqrt{{10}}\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления тангенса угла между плоскостью, проходящей через середину ребра АА1 и прямую ВС, и плоскостью А1В1С1:

\[\tan(\theta) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилегающий катет}}} = \frac{{АВ}}{{АС}} = \frac{{4}}{{4\sqrt{{10}}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{{10}}}} = \frac{{\sqrt{{10}}}}{{10}}\]

Таким образом, тангенс угла между указанными плоскостями равен \(\frac{{\sqrt{{10}}}}{{10}}\).