31.2. Подсчитайте скалярное умножение векторов и определите угол между ними: а) вектор а(1/2; -1) и вектор b(2;3

Вечерняя_Звезда

42

Решим данную задачу поочередно для каждого пункта.

а) У нас есть вектор а(1/2; -1) и вектор b(2;3). Для начала, вычислим скалярное произведение этих векторов. Скалярное произведение векторов определяется следующим образом: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y\), где \(a_x\) и \(a_y\) - компоненты вектора a, а \(b_x\) и \(b_y\) - компоненты вектора b.

Таким образом, подставляя значения компонент векторов в формулу, имеем:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2} \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 1 - 3 = -2
\]

Теперь, чтобы определить угол между векторами, воспользуемся следующей формулой: \(\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|}\), где \(\theta\) - искомый угол, и \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - длины векторов a и b, соответственно.

Для нашей задачи, вычислим длины векторов:
\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)

Теперь, подставляя значения в формулу, находим:
\(\cos(\theta) = \frac{-2}{\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-2}{\sqrt{\frac{5}{4}} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-2}{\frac{\sqrt{65}}{2}} = \frac{-4}{\sqrt{65}}\)

Теперь, чтобы определить угол \(\theta\), найдем его арккосинус:
\(\theta = \arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{65}}\right)\)

Подставляя значение векторов в задаче в калькулятор, найдено точное значение угла: \(\theta \approx 2.83\) радиан (округленно до двух десятичных знаков).

б) Данный пункт очень похож на предыдущий, поэтому процесс решения будет тот же. У нас есть вектор а(-5;6) и вектор b(6;5). Сначала найдем скалярное произведение:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-5) \cdot 6 + 6 \cdot 5 = -30 + 30 = 0\)

Затем, найдем длины векторов:
\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-5)^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}\)
\(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}\)

Используя формулу, находим:
\(\cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{61}} = 0\)

Таким образом, угол между векторами в данном случае равен 90 градусам.

в) Вектора даны в виде десятичной записи. Повторим решение по аналогии с предыдущим пунктом.

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1.5 \cdot 4 +2 \cdot 6 = 6 + 12 = 18\)

\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5\)
\(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\)

\(\cos(\theta) = \frac{18}{2.5 \cdot \sqrt{41}} = \frac{18}{2.5\sqrt{41}}\)

\(\theta = \arccos\left(\frac{18}{2.5\sqrt{41}}\right)\)

Зная значения векторов, можно найти точное значение угла с помощью калькулятора.

Таким образом, для заданных векторов, углы между ними в радианах (округленно до двух десятичных знаков) равны: \(\theta \approx 1.39\) радиан, 90 градусов, и \(\theta \approx 0.43\) радиан соответственно.