Теория вероятности в школе: тест, в котором есть 16 вопросов с выбором ответа из четырех вариантов. Только один

Летающий_Космонавт

67

Обратите внимание на формулировку задачи. Мы знаем, что Вася не готов к тесту и выбирает ответы случайным образом. Это означает, что у нас есть дело с вероятностями. Чтобы вычислить ожидаемое значение (ожидаемое количество баллов), мы должны умножить вероятность получения каждого количества правильных ответов на соответствующее количество баллов и затем сложить все результаты.

Представим задачу также в табличной форме, чтобы было легче визуализировать:

\[
\begin{{array}}{{ccc}}
\text{{Количество правильных ответов}} & \text{{Вероятность}} & \text{{Количество баллов}} \\
\hline
0 & p_0 & 0 \\
1 & p_1 & 0 \\
2 & p_2 & 0 \\
3 & p_3 & 3 \\
4 & p_4 & 4 \\
5 & p_5 & 5 \\
6 & p_6 & 6 \\
7 & p_7 & 7 \\
8 & p_8 & 8 \\
9 & p_9 & 9 \\
10 & p_{10} & 10 \\
11 & p_{11} & 11 \\
12 & p_{12} & 12 \\
13 & p_{13} & 13 \\
14 & p_{14} & 14 \\
15 & p_{15} & 15 \\
\end{{array}}
\]

Так как каждый ответ выбирается случайным образом и только один вариант из четырех является верным, вероятность правильного ответа равна \(p = \frac{1}{4}\). Следственно, вероятность неправильного ответа равна \(1 - p = \frac{3}{4}\).

Теперь мы можем вычислить вероятность \(p_k\) получить \(k\) количество правильных ответов. Мы знаем, что вероятность \(p_k\) равна сочетанию варианта \(k\) ответов из общего количества вопросов (16) и вероятности правильного ответа (\(p\)), умноженных на вероятность неправильного ответа (\(1 - p\)) в оставшихся вопросах:

\(p_k = C(16, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{16-k}\)

Теперь давайте посчитаем ожидаемое значение для каждого случая:

а) Тройка (3 правильных ответа):
\(E = 3 \cdot p_3 = 3 \cdot C(16, 3) \cdot p^3 \cdot (1-p)^{16-3}\)

б) Четверка (4 правильных ответа):
\(E = 4 \cdot p_4 = 4 \cdot C(16, 4) \cdot p^4 \cdot (1-p)^{16-4}\)

в) Пятерка (5 правильных ответов):
\(E = 5 \cdot p_5 = 5 \cdot C(16, 5) \cdot p^5 \cdot (1-p)^{16-5}\)

Теперь осталось только рассчитать численные значения. Давайте подставим числа и вычислим:

а) Тройка (3 правильных ответа):
\(E = 3 \cdot C(16, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)^{16-3}\)

\(E = 3 \cdot \frac{16!}{3!(16-3)!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{13}\)

б) Четверка (4 правильных ответа):
\(E = 4 \cdot C(16, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)^{16-4}\)

\(E = 4 \cdot \frac{16!}{4!(16-4)!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{12}\)

в) Пятерка (5 правильных ответов):
\(E = 5 \cdot C(16, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right)^{16-5}\)

\(E = 5 \cdot \frac{16!}{5!(16-5)!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{11}\)

Теперь просто рассчитаем значения:

а) Тройка:
\(E = 3 \cdot \frac{16!}{3!13!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{13}\)

б) Четверка:
\(E = 4 \cdot \frac{16!}{4!12!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{12}\)

в) Пятерка:
\(E = 5 \cdot \frac{16!}{5!11!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{11}\)

Вычислив эти выражения, мы получим ожидаемое количество баллов для каждого случая.