Сколько натуральных чисел n существует таких, что при делении 2020 на n остаток будет равен

Mishutka

55

Для решения данной задачи определим условие, при котором остаток при делении 2020 на натуральное число \( n \) будет равен нулю. То есть, нам нужно найти все такие значения для \( n \), чтобы \( 2020 \) делилось на них без остатка.

Для начала, давайте разложим число \( 2020 \) на простые множители.

\[ 2020 = 2 \times 2 \times 5 \times 101 \]

Теперь, обратимся к условию, чтобы число \( 2020 \) делилось на \( n \) без остатка. Это возможно только в том случае, когда все простые множители \( 2, 5, 101 \) входят в разложение \( n \) так же, как и в разложении числа \( 2020 \).

Таким образом, для каждого простого множителя числа \( 2020 \) мы имеем две возможности: включить его или не включать в разложение \( n \).

Применим это к каждому простому множителю числа \( 2020 \):

1. Простой множитель \( 2 \) входит в разложение числа \( 2020 \). У нас есть две возможности: включить его или не включать. Таким образом, у нас есть \( 2^2 = 4 \) варианта для учета простого множителя \( 2 \).

2. Простой множитель \( 5 \) входит в разложение числа \( 2020 \). У нас также есть две возможности: включить его или не включать. Имеем \( 2^1 = 2 \) варианта для учета простого множителя \( 5 \).

3. Простой множитель \( 101 \) входит в разложение числа \( 2020 \). Опять же, у нас есть две возможности: включить или не включать. Поэтому у нас есть \( 2^1 = 2 \) варианта для учета простого множителя \( 101 \).

Теперь умножим между собой все возможные варианты для каждого простого множителя:

\[ 4 \times 2 \times 2 = 16 \]

Таким образом, существует \( 16 \) натуральных чисел \( n \), при делении которых на \( 2020 \) нет остатка.

Мы могли бы перечислить эти числа, но они не столь важны, как сам процесс решения задачи. Этот процесс, четкая постановка задачи и логическое объяснение решения будут более полезными для школьника.