Тест №1. Тема: Производная и её применения 1. Как называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению

Солнышко

67

1. Как называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю?
Ответ: Предел отношения приращения функции в точке $x$ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, называется производной функции. Он обозначается $f"(x)$ или $\frac{df}{dx}$.

Обоснование: Производная функции показывает скорость изменения значения функции в каждой точке. Вещественное число $f"(x)$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке $x$. Производная позволяет определить направление возрастания или убывания функции, а также наличие экстремумов.

2. Если материальная точка движется по закону $s(t)$, то что означает первая производная от пути по времени?
Ответ: Первая производная от пути по времени означает скорость движения материальной точки в данный момент времени.

Обоснование: Пусть $s(t)$ - функция, описывающая путь материальной точки в зависимости от времени $t$. Если взять производную $s"(t)$, то она будет равна скорости. Таким образом, первая производная от пути по времени показывает, с какой скоростью движется точка в каждый момент времени.

3. В чем состоит смысл производной?
Ответ: Смысл производной заключается в изучении скорости изменения функции в каждой точке и определении ее поведения.

Обоснование: Производная функции $f(x)$ в точке $x$ определяет, насколько быстро меняется значение функции при изменении аргумента в данной точке. Если производная положительна, то функция возрастает, а если отрицательна, то убывает. Также производная позволяет находить точки экстремума функции и изучать ее выпуклость или вогнутость. Она является одной из основных характеристик функции и широко используется в математическом анализе и науках, связанных с изменением и движением.