The probability of event A occurring in each of the 500 independent trials is constant at 0.4. Determine

Анатолий_2935

20

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Вероятность наступления события A в каждом из 500 независимых испытаний постоянна и равна 0.4.

2. Для начала рассмотрим вероятность того, что событие A произойдет ровно 220 раз. Мы можем использовать биномиальное распределение для подсчета этой вероятности. Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( P(X = k) \) - вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз,
\( \binom{n}{k} \) - количество комбинаций, в которых событие A произошло ровно k раз из n испытаний,
p - вероятность наступления события A в каждом испытании,
n - общее количество испытаний.

В нашей задаче, \( k = 220 \), \( p = 0.4 \), \( n = 500 \).

Давайте вычислим значение используя эту формулу:

\[ P(X = 220) = \binom{500}{220} \cdot 0.4^{220} \cdot (1-0.4)^{500-220} \]

3. Теперь рассмотрим вероятность того, что событие A произойдет менее 240 раз. Чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности для всех значений \( k \) от 0 до 239. Используем формулу биномиального распределения, но вместо \( P(X = k) \) будем использовать \( P(X \leq k) \).

\[ P(X < 240) = P(X = 0) + P(X = 1) + \dots + P(X = 239) \]

4. Наконец, рассмотрим вероятность того, что событие A произойдет более 260 раз. Аналогично предыдущему пункту, нужно просуммировать вероятности для всех значений \( k \) от 261 до 500.

\[ P(X > 260) = P(X = 261) + P(X = 262) + \dots + P(X = 500) \]

Теперь вычислим все эти значения.