Требуется доказать, что функция f(x), определенная на всей числовой оси, непрерывна на всей числовой оси, если

Artem

43

Хорошо, чтобы доказать, что функция \(f(x)\) непрерывна на всей числовой оси, используем определение непрерывности. Функция \(f(x)\) называется непрерывной в точке \(x_0\), если для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\), такое что когда \(|x - x_0| < \delta\), то \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\).

Дано, что функция \(f(x) + f(ax)\) непрерывна на всей числовой оси для любого \(a > 1\). Давайте рассмотрим случай, когда \(a = 2\). Это означает, что функция \(f(x) + f(2x)\) непрерывна на всей числовой оси.

Используя данное условие непрерывности для функции \(f(x) + f(2x)\), мы можем записать следующее:
Для любого положительного числа \(\varepsilon\), существует положительное число \(\delta_1\), такое что когда \(|x - x_0| < \delta_1\), то \(|f(x) + f(2x) - (f(x_0) + f(2x_0))| < \varepsilon\) (1).

Теперь рассмотрим случай, когда \(a = \frac{1}{2}\). Это означает, что функция \(f(x) + f\left(\frac{x}{2}\right)\) непрерывна на всей числовой оси.

Используя данное условие непрерывности для функции \(f(x) + f\left(\frac{x}{2}\right)\), мы можем записать следующее:
Для любого положительного числа \(\varepsilon\), существует положительное число \(\delta_2\), такое что когда \(|x - x_0| < \delta_2\), то \(|f(x) + f\left(\frac{x}{2}\right) - (f(x_0) + f\left(\frac{x_0}{2}\right))| < \varepsilon\) (2).

Теперь давайте выберем \(\delta = \min(\delta_1, \delta_2)\). Из пункта (1) мы знаем, что когда \(|x - x_0| < \delta\), то \(|f(x) + f(2x) - (f(x_0) + f(2x_0))| < \varepsilon\). Кроме того, из пункта (2) мы знаем, что когда \(|x - x_0| < \delta\), то \(|f(x) + f\left(\frac{x}{2}\right) - (f(x_0) + f\left(\frac{x_0}{2}\right))| < \varepsilon\).

Теперь рассмотрим функцию \(f(x)\). Заметим, что \(f(x) = f(x) + f(2x) - f(2x)\). Подставим это в выражение для пункта (1):
Для любого положительного числа \(\varepsilon\), существует положительное число \(\delta\), такое что когда \(|x - x_0| < \delta\), то \(|f(x) - f(x_0) + f(2x_0) - f(2x)| < \varepsilon\).

Объединяя все вместе, мы видим, что для любого положительного числа \(\varepsilon\) существует положительное число \(\delta\), такое что когда \(|x - x_0| < \delta\), то \(|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon\). Это соответствует определению непрерывности, поэтому функция \(f(x)\) является непрерывной на всей числовой оси.

Таким образом, мы доказали, что функция \(f(x)\), определенная на всей числовой оси, непрерывна на всей числовой оси, при условии, что для любого \(a > 1\) функция \(f(x) + f(ax)\) непрерывна на всей числовой.