Требуется: Доказать, что отрезок CM перпендикулярен отрезку CK в треугольнике ABC. Условие: В треугольнике ABC даны

Yaschik_7767

27

Для доказательства того, что отрезок CM перпендикулярен отрезку CK, мы можем воспользоваться свойством биссектрисы треугольника и свойством медианы треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону треугольника на две отрезка, пропорциональных друг другу и пропорционально длинам прилежащих сторон. Таким образом, в треугольнике ABC, поскольку CM является биссектрисой угла C, мы можем сделать следующие выводы:

\[\frac{CB}{BM} = \frac{CA}{AM}\] (1)

Свойство медианы треугольника гласит, что медиана треугольника делит противолежащую сторону пополам. Таким образом, в треугольнике BCN, поскольку CK является медианой, мы можем сделать следующее утверждение:

\[\frac{CN}{NK} = \frac{CB}{BK}\] (2)

Поскольку в условии сказано, что CB = CN, мы можем заменить их в уравнении (2):

\[\frac{CN}{NK} = 1 \Rightarrow CN = NK\] (3)

Теперь, чтобы доказать, что отрезок CM перпендикулярен отрезку CK, мы можем предположить противное. Допустим, что отрезок CM не перпендикулярен отрезку CK. Тогда угол MCK не равен 90 градусам.

Посмотрим на треугольник AMB. По утверждению (1) у нас есть:

\[\frac{CB}{BM} = \frac{CA}{AM}\]

Используя то, что CB = CN (из условия), мы можем записать:

\[\frac{CN}{BM} = \frac{CA}{AM}\]

Мы также знаем из (3), что CN = NK:

\[\frac{NK}{BM} = \frac{CA}{AM}\]

Используя свойство биссектрисы (1) в треугольнике ABC, мы можем заменить \(\frac{CA}{AM}\) на \(\frac{CB}{BM}\):

\[\frac{NK}{BM} = \frac{CB}{BM}\]

Теперь, если мы сократим BM с обеих сторон, получим:

\[NK = CB\]

Но мы знаем, что CN = CB, и, следовательно, CN = NK, что противоречит нашему предположению, что отрезок CM не перпендикулярен отрезку CK.

Таким образом, мы приходим к выводу, что отрезок CM перпендикулярен отрезку CK в треугольнике ABC.