Требуется изготовить прямоугольный брус с наибольшей площадью поперечного сечения из круглых бревен на лесопилке

Космическая_Звезда_3971

24

Дано:
- Диаметр окружности бревна: 7
- Значение √2: 1,41

Чтобы найти стороны поперечного сечения бруса нам нужно использовать наибольшую площадь поперечного сечения из круглого бревна с диаметром 7.

Площадь поперечного сечения бруса равна произведению его двух сторон. Обозначим эти стороны через \(x\) и \(y\). Тогда:

\[
Площадь = x \cdot y
\]

Поскольку брус прямоугольный, то его площадь должна быть максимальной. Мы можем связать стороны \(x\) и \(y\) с диаметром бревна и значением √2.

Рисунок:

            _______ y

           |       |

          ---------

       /\ |       |

      /  \|

     /____\_______

        x

Заметим, что стороны \(x\) и \(y\) являются диагоналями прямоугольника с размерами \(7\) и \(√2\). Так как диагонали прямоугольника равны и образуют прямой угол, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти их значения.

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника, где квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, выполняется следующее:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

В нашем случае, сторона \(x\) будет гипотенузой прямоугольного треугольника, а сторона \(y\) будет одним из его катетов.

Применим теорему Пифагора к нашей задаче:

\[
x^2 = y^2 + (√2)^2
\]

\[
x^2 = y^2 + 2
\]

Поскольку нам нужно найти наибольшую площадь поперечного сечения бруса, нам нужно найти максимальное значение площади. Мы можем записать это в виде функции площади как:

\[
Площадь = f(x) = x \cdot (y^2 + 2)
\]

Для максимизации площади, нам нужно найти максимальное значение функции площади \(f(x)\). Для этого мы можем взять производную функции по переменной \(x\), приравнять ее к нулю и найти значение \(x\), которое максимизирует площадь.

Производная функции площади по \(x\) будет:

\[
f"(x) = y^2 + 2
\]

Приравняем \(f"(x)\) к нулю:

\[
y^2 + 2 = 0
\]

Решим это уравнение относительно \(y^2\):

\[
y^2 = -2
\]

Так как площадь не может быть отрицательной, то корень из отрицательного числа невозможен. Это означает, что у нас нет критических точек для максимизации площади.

Следовательно, при данных условиях, площадь поперечного сечения бруса будет максимальной при \(x = 7\) и \(y = √2\).

Подставим значения \(x\) и \(y\) в формулу площади:

\[
Площадь = x \cdot y = 7 \cdot √2 \approx 9,90
\]

Таким образом, при указанных значениях диаметра и √2, стороны поперечного сечения бруса будут приближенно равны \(7\) и \(√2\), а площадь сечения будет приближенно равна \(9,90\).