Требуется изменить функцию распределения Максвелла, заменив переменную v на переменную u = v / v(вер), где v(вер

Druzhische

17

Хорошо, давайте начнем с общего понимания функции распределения Максвелла. Функция распределения Максвелла описывает распределение скоростей частиц в газе при заданной температуре. Она определяется следующим образом:

\[f(v) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot 4\pi v^2 \cdot e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\]

где:
- \(f(v)\) - функция распределения Максвелла для скорости \(v\).
- \(m\) - масса молекулы газа.
- \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23}\) Дж/К).
- \(T\) - температура газа в кельвинах.
- \(e\) - основание натурального логарифма.

Теперь давайте решим задачу, указанную в вашем вопросе: изменить переменную v на переменную u = v / v(вер), где v(вер) - наиболее вероятная скорость молекулы.

Для этого мы воспользуемся правилом замены переменной в интеграле. Подставим \(v = uv(вер)\) и найдем новую функцию распределения Максвелла для переменной u.

\[f(u) = f(v) \left|\frac{{dv}}{{du}}\right|\]

Для нахождения производной \(dv/du\) нам понадобится правило дифференцирования сложной функции. Рассчитаем его.

\[ v = uv(вер) \Rightarrow \frac{{dv}}{{du}} = v(вер)\frac{{du}}{{du}} + u\frac{{dv}}{{du}} = v(вер) + u\frac{{dv}}{{du}} \]

Теперь у нас есть все, чтобы продолжить с нашими вычислениями.

\[f(u) = f(v) \left|\frac{{dv}}{{du}}\right| = f(v) \left| v(вер) + u\frac{{dv}}{{du}} \right|\]

Заменяя \(f(v)\) значением из исходной функции распределения Максвелла, получаем:

\[f(u) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot 4\pi (uv(вер))^2 \cdot e^{-\frac{m(uv(вер))^2}{2kT}} \cdot \left| v(вер) + u\frac{{dv}}{{du}} \right|\]

У нас есть новая функция распределения Максвелла для переменной u в зависимости от \(v(вер)\). Данная формула позволит распределить скорости молекул газа с учетом наиболее вероятной скорости \(v(вер)\).