Требуется найти длину хорды сферы (х + 2)2 + (у — 1)2 + + (х+3)2 = 16, лежащей на оси абсцисс.​

Пуфик

37

Чтобы найти длину хорды сферы, лежащей на оси абсцисс, нужно рассмотреть уравнение сферы и вывести уравнение хорды.
Уравнение сферы задано следующим образом:
\((x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (x + 3)^2 = 16\)

Чтобы найти уравнение хорды, лежащей на оси абсцисс, мы можем предположить, что \(y = 0\), так как хорда будет пересекать ось абсцисс в точке с координатами (x, 0). Подставим \(y = 0\) в уравнение сферы:

\((x + 2)^2 + (0 - 1)^2 + (x + 3)^2 = 16\)
\((x + 2)^2 + 1 + (x + 3)^2 = 16\)

Раскроем квадраты и упростим выражение:

\(x^2 + 4x + 4 + 1 + x^2 + 6x + 9 = 16\)
\(2x^2 + 10x + 14 = 16\)
\(2x^2 + 10x - 2 = 0\)

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)
\(D = 10^2 - 4(2)(-2)\)
\(D = 100 + 16\)
\(D = 116\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x = \frac{-10 \pm \sqrt{116}}{4}\)
\(x = \frac{-10 \pm 2\sqrt{29}}{4}\)

Таким образом, мы получаем две точки пересечения оси абсцисс с сферой: \(x_1 = \frac{-10 + 2\sqrt{29}}{4}\) и \(x_2 = \frac{-10 - 2\sqrt{29}}{4}\).

Для нахождения длины хорды, соединяющей эти две точки, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в прямой системе координат:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Учитывая, что y = 0, формула упрощается:

\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (0 - 0)^2}\)
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}\)
\(d = |x_2 - x_1|\)

Теперь мы можем вычислить длину хорды:

\(d = |x_2 - x_1|\)
\(d = \left|\frac{-10 - 2\sqrt{29}}{4} - \frac{-10 + 2\sqrt{29}}{4}\right|\)
\(d = \left|\frac{-10 - 2\sqrt{29} + 10 + 2\sqrt{29}}{4}\right|\)
\(d = \left|\frac{4\sqrt{29}}{4}\right|\)
\(d = \sqrt{29}\)

Таким образом, длина хорды сферы, лежащей на оси абсцисс, равна \(\sqrt{29}\).