Треугольник ABC описан вокруг окружности ω. Известно, что угол A составляет 81 градус, а угол B - 74 градуса. Прямая

Сладкая_Бабушка

28

Чтобы найти меньшую секторную меру дуги, нам необходимо вычислить меру угла между двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.

Для начала построим схему с данными, чтобы визуализировать информацию. Угол A равен 81 градус, а угол B равен 74 градуса. Пусть O - это центр окружности, а F, E, D - точки пересечения прямых, проходящих через точки C, D и E соответственно:

         B

     *-------*

    /         \

   /           \

C /             \ E

 *               *

  \             /

   \           /

    \         /

     *-------* F

  A            O

Мы знаем, что треугольник ABC описан вокруг окружности, что означает, что все три вершины треугольника (то есть точки A, B и C) лежат на окружности. Из этого следует, что угол ACB - прямой угол, то есть 180 градусов.

Используем данную информацию для нахождения искомой секторной меры дуги. Обратим внимание, что угол ACB - это угол между радиусами окружности, проведенными к точкам A и C. Формула для вычисления секторной меры дуги гласит:

\[ \text{Секторная мера дуги} = \frac{\text{мера угла ACB}}{360}\times 2\pi r \]

где r - радиус окружности.

Мы уже знаем, что мера угла ACB равна 180 градусов. Осталось найти радиус окружности.

Чтобы найти радиус окружности, рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два угла этого треугольника: угол A и угол B. Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, мы можем найти третий угол треугольника. Угол C равен:

\[ \text{угол C} = 180 - \text{угол A} - \text{угол B} = 180 - 81 - 74 = 25 \text{ градусов} \]

Теперь у нас есть все углы треугольника ABC, и мы можем воспользоваться тригонометрической функцией тангенс для вычисления радиуса. Поскольку угол C - это угол между сторонами AB и BC, мы можем записать следующее уравнение:

\[ \tan(\text{угол C}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{BC} \]

Что равно:

\[ \tan(25) = \frac{AB}{BC} \]

Теперь нам нужно выразить длину стороны AB через радиус окружности. Строим прямой, проходящую через центр окружности O и точку D:

         B

     *-+---+---*

    / |   |   | \

   /  |   |   |  \

C /  +---+---+   \ E

 *   |   |   |   *

  \ -+---+---+  /

   \ |   |   | /

    \+---+---+/

     *---|---* F

  A    O   D

Мы можем применить теорему тангенсов к треугольнику ODC. Угол ODC равен половине угла ACB, то есть 90 градусов, так как угол ACB - это угол на стороне окружности. Угол OCD также равен половине угла ACB, потому что угол OCD и угол DCB - дополняющие углы.

Получаем:

\[ \tan(90) = \frac{OD}{CD} \]
\[ \tan(90) = \frac{r}{CD} \]

Поскольку \(\tan(90) = \infty\), то \(\frac{r}{CD} = \infty\). Следовательно, CD равно нулю.

Теперь рассмотрим треугольник ECD. Мы уже знаем, что CD = 0, поэтому треугольник ECD является равнобедренным треугольником, в котором сторона EC (отрезок, проходящий через точки E и C) равна радиусу окружности r.

Теперь вернемся к уравнению:

\[ \tan(25) = \frac{AB}{BC} \]

Поскольку EC параллельно AB, то AB = EC = r. Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

\[ \tan(25) = \frac{r}{BC} \]

Теперь мы можем решить это уравнение, найдя BC:

\[ BC = \frac{r}{\tan(25)} \]

Теперь, используя значение BC (или HV) и зная, что мера угла ACB равна 180 градусов, мы можем вычислить меру искомой дуги.

\[ \text{Секторная мера дуги} = \frac{\text{мера угла ACB}}{360}\times 2\pi r = \frac{180}{360}\times 2\pi \frac{r}{\tan(25)} = \pi \frac{r}{\tan(25)} \]

Остается только вычислить значение меры дуги. Заметим, что ранее мы уже выяснили, что EC = r, поэтому мы можем подставить эту величину в уравнение:

\[ \text{Секторная мера дуги} = \pi \frac{r}{\tan(25)} = \pi \frac{EC}{\tan(25)} = \pi \frac{r}{\tan(25)} \]

Таким образом, меньшая секторная мера дуги равна \( \pi \frac{r}{\tan(25)} \) градусов.

Заметьте, что ответ содержит символы \( \pi \) и тангенс 25 градусов. Если требуется численное значение, вам необходимо вычислить это выражение, используя калькулятор или другие инструменты.