Треугольник, у которого стороны равны 7см, 10см и [вставить значение для третьей стороны], относится к остроугольным

Skolzyaschiy_Tigr

43

Чтобы определить, является ли данный треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, мы должны воспользоваться теоремой косинусов. Данная теорема связывает длины сторон треугольника с косинусами соответствующих углов. Формула теоремы косинусов имеет следующий вид:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, \(C\) - угол, противолежащий стороне \(c\). В нашем случае у нас есть две известные длины сторон треугольника - 7 см и 10 см. Обозначим третью сторону как \(x\) см.

Используя теорему косинусов, мы можем записать следующее уравнение:

\[\begin{align*}
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \\
x^2 &= 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \\
x^2 &= 49 + 100 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \\
x^2 &= 149 - 140 \cdot \cos C
\end{align*}\]

Теперь нам нужно выяснить, какой угол противолежит стороне \(x\) см. Для этого мы воспользуемся теоремой синусов. Она утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех сторон и углов треугольника. Формула теоремы синусов имеет следующий вид:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Исходя из данной формулы, мы можем записать следующее уравнение:

\[\frac{7}{\sin A} = \frac{10}{\sin B} = \frac{x}{\sin C}\]

Так как мы хотим определить тип треугольника на основе его углов, нас интересует угол \(C\). Изначально у нас нет информации о его значении, поэтому нам надо найти его с помощью тригонометрических функций. Для этого воспользуемся соотношением:

\[\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}\]

Так как мы знаем, что треугольник является плоским геометрическим объектом, в пределах которого сумма углов равна 180 градусов (или \(\pi\) радиан), то мы можем записать следующее уравнение:

\[A + B + C = \pi\]

Теперь у нас есть система уравнений, решив которую мы сможем определить тип треугольника. Давайте найдем \(C\) и \(x\):

\[\begin{align*}
\frac{7}{\sin A} &= \frac{10}{\sin B} = \frac{x}{\sin C} \\
A + B + C &= \pi \\
\sin C &= \sqrt{1 - \cos^2 C}
\end{align*}\]

После решения этой системы уравнений мы сможем получить окончательный ответ на задачу.