У двух миллионеров есть игровая доска размером 99×99. Они играют по очереди, чтобы поставить числа +1 или -1 в клетки
У двух миллионеров есть игровая доска размером 99×99. Они играют по очереди, чтобы поставить числа +1 или -1 в клетки доски (по одному числу за ход). Когда игрок ставит число, он получает от другого игрока деньги в размере суммы чисел на доске до его хода (если сумма отрицательная, игрок должен заплатить модуль этой суммы). Оба миллионера стремятся оставить себе больше денег. Какой из игроков будет в плюсе и насколько, если они играют правильно?
Валентина_8364 58
Данная задача является классической задачей из теории игр, и решение ее основывается на принципе обратной индукции.Для начала, представим доску размером 99×99 в виде матрицы. Будем обозначать каждую клетку как (i, j), где i и j - номера строчки и столбца соответственно.
Обратим внимание на то, что внешние клетки доски (то есть с координатами (1, j), (99, j), (i, 1) и (i, 99)) необходимо заполнить числами +1, так как они имеют меньше соседних клеток по сравнению с остальными клетками.
Далее, посмотрим на "граничные столбцы" и "граничные строки" доски (то есть столбцы с координатами 2 и 98, и строки с координатами 2 и 98). Они имеют по 97 клеток. Если для некоторой клетки (i, j) из "граничных столбцов" или "граничных строк" игрок может поставить в нее -1 вместо +1, чтобы оставить себе больше денег, то он будет так делать. В противном случае он поставит +1.
Далее, рассмотрим внутренние клетки доски, то есть те клетки, которые не относятся ни к "граничным столбцам", ни к "граничным строкам". Для каждой внутренней клетки (i, j) посчитаем разницу между количеством доступных клеток для игрока и количеством доступных клеток для противника.
- Если разница положительная, то игрок ставит -1, чтобы уменьшить количество доступных клеток для противника и оставить себе больше денег.
- Если разница отрицательная, то игрок ставит +1, чтобы увеличить количество доступных клеток для противника.
Таким образом, игроки будут строить свой ход, чтобы получить максимальное количество денег. Оба миллионера играют правильно, поэтому у них не будет ошибок в тактике и они будут стремиться к оптимальному результату.
Окончательный результат будет зависеть от начального состояния доски. Если на доске изначально четное количество единиц, то первый игрок будет в плюсе и сумма составит половину от числа единиц на доске. Если на доске изначально нечетное количество единиц, то в плюсе будет второй игрок, и сумма будет равна (-1) умножить на половину от числа единиц + 1.
Итак, чтобы ответить на вопрос, необходимо знать изначальное состояние доски, то есть количество единиц, которые уже стоят на доске. Например, если изначально на доске 50 единиц, то первый игрок будет в плюсе на 25 денег. Если на доске изначально 51 единица, то в плюсе будет второй игрок на 26 денег.
Учтите, что это общая стратегия для игры на доске размером 99×99. Для досок других размеров решение может отличаться.