У крестьянина было прямоугольное поле из кукурузы. Длина его диагонали равна 100 метров. В то время всё было хорошо

Chudo_Zhenschina_3235

63

Давайте пошагово решим эту задачу.

Пусть исходное прямоугольное поле имеет длину \(x\) и ширину \(y\). Тогда, по теореме Пифагора, диагональ можно найти по формуле:

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{x^2 + y^2}}
\]

Дано, что диагональ изначального поля равна 100 метров:

\[
\sqrt{{x^2 + y^2}} = 100
\]

Теперь, по условию задачи, мы уменьшаем одну сторону на 50 метров, а другую на 62 метра. После этого, периметр поля уменьшается в 5 раз, то есть становится равным \(\frac{1}{5}\) от периметра исходного поля. Периметр прямоугольника можно найти по формуле:

\[
\text{{периметр}} = 2(x + y)
\]

Из условия задачи, получаем следующее уравнение:

\[
2(x - 50 + y - 62) = \frac{1}{5} \cdot 2(x + y)
\]

Сокращаем на 2 и упрощаем уравнение:

\[
x - 50 + y - 62 = \frac{1}{5}(x + y)
\]

Раскрываем скобки:

\[
x + y - 112 = \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}y
\]

Уберём дроби, умножив всё уравнение на 5:

\[
5x + 5y - 560 = x + y
\]

Теперь выражаем одну из переменных через другую:

\[
4x + 4y = 560
\]

Раскрываем скобки и сокращаем на 4:

\[
x + y = 140
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\left\{
\begin{aligned}
x + y &= 140 \\
x^2 + y^2 &= 100^2
\end{aligned}
\right.
\]

Решим первое уравнение относительно \(x\) или \(y\):

\[
x = 140 - y
\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[
(140 - y)^2 + y^2 = 100^2
\]

Раскроем скобки:

\[
19600 - 280y + y^2 + y^2 = 10000
\]

Упрощаем уравнение:

\[
2y^2 - 280y + 9600 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 2\), \(b = -280\), \(c = 9600\):

\[
D = (-280)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9600 = 78400 - 76800 = 1600
\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

\[
y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 + \sqrt{1600}}{4} = \frac{280 + 40}{4} = \frac{320}{4} = 80
\]

\[
y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 - \sqrt{1600}}{4} = \frac{280 - 40}{4} = \frac{240}{4} = 60
\]

Теперь найдем соответствующие значения \(x\):

\[
x_1 = 140 - y_1 = 140 - 80 = 60
\]

\[
x_2 = 140 - y_2 = 140 - 60 = 80
\]

Таким образом, у нас получилось две пары значений \((x, y)\): \((60, 80)\) и \((80, 60)\).

Теперь найдем длину диагонали нового поля для каждой пары значений \((x, y)\) по формуле диагонали:

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{x^2 + y^2}}
\]

Для \((60, 80)\):

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{60^2 + 80^2}} = \sqrt{{3600 + 6400}} = \sqrt{{10000}} = 100
\]

Для \((80, 60)\):

\[
\text{{диагональ}} = \sqrt{{80^2 + 60^2}} = \sqrt{{6400 + 3600}} = \sqrt{{10000}} = 100
\]

Таким образом, длина диагонали нового поля составляет 100 метров для каждой пары значений. Ответ: длина диагонали нового поля составляет 100 метров.