Какова площадь сечения сферы радиусом R, пересеченной плоскостью на расстоянии а от центра? // чертеж и подробное

Yupiter

30

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала давайте взглянем на сечение сферы плоскостью.

____
,:--" "--:,
/ \
; ;
," ",
; ;
; _______ _______ ;
| \ ___ \ / ___ \ |
: \/ \ \ / / \ \ ;
; \ \ / / ;
; \ \ / / ;
". \ \ / / ,"
". \_/ / ,"
"-. , ,-;"
"--.. ,""-"
""

Давайте обозначим центр сферы как точку O, пересечение сферы и плоскости как кривую линию AB, а перпендикулярную линию от центра сферы к плоскости как CO. Мы также знаем, что расстояние от точки O до плоскости равно a.

Если мы продлим линию CO до пересечения с сферой в точке D, то получим треугольник OBC, где BC - отрезок, соединяющий точки B и C, и OC - отрезок, соединяющий точки O и C. Также, вспомним, что BC является основанием перпендикуляра, который мы строим из центра сферы к плоскости, и его длина равна a.

Так как D принадлежит сфере, то OD является радиусом сферы и его длина равна R.

Теперь давайте применим теорему Пифагора к треугольнику OBC:

\(OB^2 = OC^2 + BC^2\)

Так как OC = a и OD = R, получаем:

\(R^2 = a^2 + BC^2\)

Отсюда следует:

\(BC^2 = R^2 - a^2\)

Для того, чтобы найти площадь сечения сферы, пересеченного плоскостью, мы должны найти длину отрезка BC. Однако, сечение имеет форму круга, поэтому мы можем использовать формулу для площади круга, выраженную через радиус:

\(S = \pi \cdot BC^2\)

Подставляя значение \(BC^2 = R^2 - a^2\), получим окончательную формулу для площади сечения:

\(S = \pi \cdot (R^2 - a^2)\)

Итак, площадь сечения сферы радиусом R, пересеченной плоскостью на расстоянии a от центра, равна \(\pi \cdot (R^2 - a^2)\).

Надеюсь, это решение помогло вам понять задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!