У нас есть набор из n лампочек, и каждая из них, с вероятностью р, может иметь дефект. Когда лампочка ввинчивается

Evgenyevna_7179

39

Добро пожаловать! Давайте решим задачу построения ряда распределения случайной величины Х и нахождения её функции распределения, математического ожидания, дисперсии и вероятности.

Задача 4.1:
У нас есть набор из \(n=4\) лампочек, и каждая из них, с вероятностью \(p=0.2\), может иметь дефект. Когда лампочка ввинчивается в патрон и включается, дефектная лампочка сразу же заменяется другой. Мы интересуемся случайной величиной \(X\), которая представляет собой число лампочек, которые будут испробованы.

1. Построение ряда распределения случайной величины \(X\):
Рассмотрим все возможные значения \(X\) от 0 до 4:
- Если ни одна лампочка не окажется дефектной, то \(X=0\);
- Если окажется дефектной только одна лампочка, то \(X=1\);
- Если окажется дефектными две лампочки, то \(X=2\);
- Если окажется дефектными три лампочки, то \(X=3\);
- Если окажутся дефектными все четыре лампочки, то \(X=4\).

Теперь посчитаем вероятность каждого значения:
- Вероятность того, что ни одна лампочка не окажется дефектной, равна \(P(X=0) = (1-p)^4 = (1-0.2)^4 = 0.4^4 = 0.0256\).
- Вероятность того, что одна лампочка окажется дефектной, равна \(P(X=1) = \binom{4}{1}p(1-p)^3 = 4 \cdot 0.2 \cdot 0.8^3 = 0.4096\).
- Вероятность того, что две лампочки окажутся дефектными, равна \(P(X=2) = \binom{4}{2}p^2(1-p)^2 = 6 \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^2 = 0.384\).
- Вероятность того, что три лампочки окажутся дефектными, равна \(P(X=3) = \binom{4}{3}p^3(1-p) = 4 \cdot 0.2^3 \cdot 0.8 = 0.1536\).
- Вероятность того, что все четыре лампочки окажутся дефектными, равна \(P(X=4) = p^4 = 0.2^4 = 0.0016\).

Таким образом, ряд распределения случайной величины \(X\) выглядит следующим образом:
\[
\begin{align*}
X & : 0 & : 1 & : 2 & : 3 & : 4 \\
P & : 0.0256 & : 0.4096 & : 0.384 & : 0.1536 & : 0.0016 \\
\end{align*}
\]

2. Функция распределения случайной величины \(X\):
Функция распределения \(F(x)\) выражает вероятность того, что случайная величина \(X\) принимает значение, меньшее или равное \(x\).

Для заданного ряда распределения случайной величины \(X\), функция распределения \(F(x)\) будет выглядеть следующим образом:
\[
\begin{align*}
F(x) & : 0 & : 1 & : 2 & : 3 & : 4 \\
P(X \leq x) & : 0.0256 & : 0.4352 & : 0.8192 & : 0.9728 & : 0.9744 \\
\end{align*}
\]

3. Математическое ожидание \(M(X)\):
Математическое ожидание случайной величины \(X\) определяется как взвешенная сумма значений случайной величины, умноженных на их вероятности.

Рассчитаем математическое ожидание \(M(X)\):
\[
M(X) = 0 \cdot 0.0256 + 1 \cdot 0.4096 + 2 \cdot 0.384 + 3 \cdot 0.1536 + 4 \cdot 0.0016 = 0.94
\]

Таким образом, математическое ожидание \(M(X)\) равно 0.94.

4. Дисперсия \(D(X)\):
Дисперсия случайной величины \(X\) выражает меру разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Рассчитаем дисперсию \(D(X)\):
\[
D(X) = (0-0.94)^2 \cdot 0.0256 + (1-0.94)^2 \cdot 0.4096 + (2-0.94)^2 \cdot 0.384 + (3-0.94)^2 \cdot 0.1536 + (4-0.94)^2 \cdot 0.0016 = 0.9264
\]

Таким образом, дисперсия \(D(X)\) равна 0.9264.

5. Вероятность, что будут испытаны не более \(k\) лампочек:
Для заданного значения \(k\), вероятность того, что будет испытано не более \(k\) лампочек, можно рассчитать с помощью функции распределения \(F(x)\).

Для \(k=3\) вероятность будет равна:
\[P(X \leq 3) = F(3) = 0.9728\]

Таким образом, вероятность того, что будет испытано не более 3 лампочек, составляет 0.9728.

Продолжайте задавать вопросы, если что-то не ясно!