У нас есть правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников с длиной стороны

Edinorog_1277

68

1. Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\).

Для начала, нам нужно выразить векторы \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) в координатной форме.
Поскольку правильный шестиугольник состоит из равносторонних треугольников, длина стороны составляет 4 см.

Пусть точка D имеет координаты (0, 0) в декартовой системе координат, а точка C - (4, 0). Также, точка A может быть найдена, если мы знаем координаты точки D и поворот, поэтому она будет (4cos(60°), 4sin(60°)), как смещение от начала координат в направлении, образуемом равносторонним треугольником.

То есть \(\overrightarrow{DC} = (4-0, 0-0) = (4, 0)\)
\(\overrightarrow{DA} = (4\cos(60°), 4\sin(60°)) = (2, 2\sqrt{3}) \)

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\)

Скалярное произведение векторов рассчитывается как сумма произведений соответствующих компонентов:

\(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DA} = (4 \cdot 2) + (0 \cdot 2\sqrt{3}) = 8 \)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) равно 8.

2. Чему равно скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OF}\) и \(\overrightarrow{OA}\)?

Поскольку мы говорим о правильном шестиугольнике, то вектор \(\overrightarrow{OF}\) будет совпадать с вектором \(\overrightarrow{OA}\), так как точки F и A - вершины одного и того же треугольника, образующего шестиугольник.

Следовательно, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OF}\) и \(\overrightarrow{OA}\) будет равно \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA}\).

Для рассчета скалярного произведения вектора \(\overrightarrow{OA}\) с самим собой мы используем ту же формулу:

\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OA} = (4\cos(60°) \cdot 4\cos(60°)) + (4\sin(60°) \cdot 4\sin(60°)) = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 16 \cdot \left(\frac{3}{4}\right) = 8 + 12 = 20 \)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OF}\) и \(\overrightarrow{OA}\) равно 20.

3. Каково скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\)?

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\), необходимы координаты точек A и B.

Координаты точки A были уже вычислены в предыдущем ответе и равны (2, 2\sqrt{3}).
Чтобы найти координаты точки B, мы можем использовать тот факт, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Поэтому точка B находится на той же высоте, что и точка A, но на противоположной стороне.

Таким образом, координаты точки B будут (-2, 2\sqrt{3}).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\).

\(\overrightarrow{AB} = (-2-2, 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) = (-4, 0)\)

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) можно рассчитать следующим образом:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = (-4 \cdot -4) + (0 \cdot 0) = 16\)

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) равно 16.