У нас есть правильный шестиугольник, который состоит из шести равносторонних треугольников с длиной стороны

Edinorog_1277

68

1. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{DA}$.

Для начала, нам нужно выразить векторы $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{DA}$ в координатной форме.
Поскольку правильный шестиугольник состоит из равносторонних треугольников, длина стороны составляет 4 см.

Пусть точка D имеет координаты (0, 0) в декартовой системе координат, а точка C - (4, 0). Также, точка A может быть найдена, если мы знаем координаты точки D и поворот, поэтому она будет (4cos(60°), 4sin(60°)), как смещение от начала координат в направлении, образуемом равносторонним треугольником.

То есть $\overrightarrow{DC}=(4-0,0-0)=(4,0)$
$\overrightarrow{DA}=(4\cos (60°),4\sin (60°))=(2,2\sqrt{3})$

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{DA}$

Скалярное произведение векторов рассчитывается как сумма произведений соответствующих компонентов:

$\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{DA}=(4\cdot 2)+(0\cdot 2\sqrt{3})=8$

Таким образом, скалярное произведение векторов $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{DA}$ равно 8.

2. Чему равно скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OF}$ и $\overrightarrow{OA}$?

Поскольку мы говорим о правильном шестиугольнике, то вектор $\overrightarrow{OF}$ будет совпадать с вектором $\overrightarrow{OA}$, так как точки F и A - вершины одного и того же треугольника, образующего шестиугольник.

Следовательно, скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OF}$ и $\overrightarrow{OA}$ будет равно $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}$.

Для рассчета скалярного произведения вектора $\overrightarrow{OA}$ с самим собой мы используем ту же формулу:

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OA}=(4\cos (60°)\cdot 4\cos (60°))+(4\sin (60°)\cdot 4\sin (60°))=16\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+16\cdot \left(\frac{3}{4}\right)=8+12=20$

Таким образом, скалярное произведение векторов $\overrightarrow{OF}$ и $\overrightarrow{OA}$ равно 20.

3. Каково скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$?

Чтобы вычислить скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$, необходимы координаты точек A и B.

Координаты точки A были уже вычислены в предыдущем ответе и равны (2, 2\sqrt{3}).
Чтобы найти координаты точки B, мы можем использовать тот факт, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Поэтому точка B находится на той же высоте, что и точка A, но на противоположной стороне.

Таким образом, координаты точки B будут (-2, 2\sqrt{3}).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB}=(-2-2,2\sqrt{3}-2\sqrt{3})=(-4,0)$

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ можно рассчитать следующим образом:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=(-4\cdot -4)+(0\cdot 0)=16$

Таким образом, скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ равно 16.