У правильній чотирикутній піраміді SABCD, через середини сторін АВ і АD, проведено площину, яка паралельна бічному

Кузнец

7

Добро пожаловать в решение вашей задачи!

Для начала, нам нужно разобраться в основных свойствах правильной четырехугольной пирамиды. Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, основанием которой служит правильный четырехугольник (квадрат), а все боковые грани равны между собой и перпендикулярны к основанию.

Теперь, когда мы определились с понятием правильной пирамиды, посмотрим на условие задачи. У нас есть правильная четырехугольная пирамида SABCD, где сторона основания AB и AD соединены через их середины точкой M, и проведена плоскость, параллельная боковому ребру SA. Мы хотим найти площадь получившегося перереза, при условии, что сторона основания длиной √2.

Для начала, давайте найдем длину бокового ребра SA. Мы знаем, что плоскость, проходящая через середины сторон AB и AD, параллельна боковому ребру SA. Это означает, что треугольники AMB и AMD подобны треугольнику SAM, так как имеют общий угол у основания и один угол прямой из-за перпендикулярности.

Таким образом, мы можем установить следующее соотношение между длинами сторон:

\(\frac{AM}{SA} = \frac{AB}{AM} \) (1)

У нас уже есть значение для AB (\(\sqrt{2}\)), поэтому мы можем подставить его:

\(\frac{AM}{SA} = \frac{\sqrt{2}}{AM} \)

Далее, мы можем выразить AM относительно SA, умножив обе стороны на AM:

\(AM^2 = \sqrt{2} \cdot SA\)

Зная, что площадь пирамиды выражается формулой \(S = \frac{1}{3} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\), и зная, что у нас правильная четырехугольная пирамида, у которой основанием является квадрат с длиной стороны AB равной \(\sqrt{2}\), мы можем найти высоту пирамиды.

Высота пирамиды найдется из следующего соотношения:

\(S = \frac{1}{3} \cdot AB^2 \cdot h\)

где S - площадь пирамиды.

Мы знаем, что площадь пирамиды равна площади перереза, поэтому мы можем записать:

\(S = \frac{1}{3} \cdot AB^2 \cdot h = \text{площадь перереза}\)

Теперь, когда мы рассмотрели основные свойства пирамиды и установили соотношения, давайте составим и решим уравнение, чтобы найти значение высоты пирамиды и, следовательно, площадь перереза.

Исходя из выражения \(AM^2 = \sqrt{2} \cdot SA\), мы можем подставить \(AM^2\) на место AB^2 в уравнении для площади:

\(S = \frac{1}{3} \cdot AM^2 \cdot h = \text{площадь перереза}\)

Теперь подставим значение AM, найденное из предыдущего уравнения:

\(S = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{2} \cdot SA) \cdot h = \text{площадь перереза}\)

В нем представлены две неизвестных: h - высота пирамиды и SA - длина бокового ребра пирамиды. Чтобы найти их значения, нам нужно еще одно уравнение. Мы можем использовать тот факт, что плоскость, содержащая перерез, параллельна боковому ребру SA.

Таким образом, мы можем установить следующее соотношение между длинами сторон:
\( \frac{h}{SA} = \frac{\text{площадь перереза}}{SAM} \) (2)

У нас уже есть значение для площади перереза (\(S = \frac{1}{3} \cdot AM^2 \cdot h\)), и мы можем записать соотношение (2) следующим образом:

\( \frac{h}{SA} = \frac{\frac{1}{3} \cdot AM^2 \cdot h}{SAM} \)

Сократив h на обеих сторонах и умножив на SA, получим:

\( h \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot AM^2 \)

Теперь мы можем подставить значение AM, данное ранее:

\( h \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{2} \cdot SA)^2 \)

Упростим выражение:

\( h \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot SA^2 \)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

\(\begin{cases} AM^2 = \sqrt{2} \cdot SA \\\\ h \cdot SA = \frac{2}{3} \cdot SA^2 \end{cases} \)

Для решения этой системы уравнений сначала рассмотрим уравнение \( h \cdot SA = \frac{2}{3} \cdot SA^2 \).

Мы можем разделить обе стороны на SA:

\( h = \frac{2}{3} \cdot SA \)

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:

\( AM^2 = \sqrt{2} \cdot SA \)

\(\left(\frac{2}{3} \cdot SA\right)^2 = \sqrt{2} \cdot SA \)

\(\left(\frac{4}{9}\right) \cdot SA^2 = \sqrt{2} \cdot SA \)

Степени SA находятся на обеих сторонах равенства, поэтому мы можем разделить обе стороны на SA:

\(\frac{4}{9} \cdot SA = \sqrt{2}\)

Теперь, чтобы найти значение SA (боковое ребро пирамиды), мы можем умножить обе стороны на \(\frac{9}{4}\):

\(SA = \sqrt{2} \cdot \frac{9}{4} \)

Итак, мы получаем значение бокового ребра пирамиды:

\(SA = \frac{9}{2}\)

Теперь мы можем найти значение высоты пирамиды h, подставив найденное значение SA в уравнение \(h = \frac{2}{3} \cdot SA\):

\(h = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 3\)

Таким образом, длина бокового ребра пирамиды SA равна \(\frac{9}{2}\), а высота пирамиды h равна 3.

Наконец, подставляем значения SA и h в уравнение для площади перереза:

\(S = \frac{1}{3} \cdot AM^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{2} \cdot SA)^2 \cdot h \)

\(S = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{9}{2})^2 \cdot 3 \)

\(S = \frac{1}{3} \cdot 9^2 \cdot 3 \)

Мы можем упростить это выражение:

\(S = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 3 = 27\)

Таким образом, площадь перереза равна 27.

Итак, ответ на вашу задачу:

Длина бокового ребра пирамиды SA равна \(\frac{9}{2}\), а площадь перереза равна 27.