У прямокутну трапецію вписали коло. Радіус цього кола дорівнює 6 см. Точка дотику розділила більшу бічну сторону

Musya

43

Для решения данной задачи рассмотрим свойства вписанных фигур.

Пусть \(ABCD\) - прямоугольная трапеция, в которую вписано круг с радиусом \(r\). Также пусть точка касания круга с боковой стороной \(AD\) разделяет её на две отрезка \(AE\) и \(ED\), причём длина отрезка \(AE\) равна \(x\).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику \(ACE\). Заметим, что это прямоугольный треугольник, так как \(AE\) является радиусом круга. Имеем:
\(\begin{cases}
AC^2 = AE^2 + CE^2, \\
CE = AD = BC - AE
\end{cases} \Rightarrow AC^2 = AE^2 + (BC - AE)^2\).

Подставляя значения и учитывая, что \(BC\) - большая основание трапеции, получаем:
\(AC^2 = x^2 + (BC - x)^2\).

Так как трапеция является прямоугольной, то \(BC = AD + CD\). Заметим, что \(AD\) - это разность двух отрезков \(AE\) и \(DE\), то есть \(AD = AE - DE\).
Таким образом, \(BC = (AE - DE) + CD\).

Продолжаем выражение для \(AC^2\):
\(AC^2 = x^2 + ((AE - DE) + CD - x)^2\).

Теперь воспользуемся свойствами вписанного четырёхугольника. Если вписанная трапеция является прямоугольной, то сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. Имеем:
\(AC^2 + BD^2 = AB^2 + CD^2\).

В нашем случае, где \(ABCD\) - прямоугольная трапеция:
\(AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2\).

Подставляем значения и продолжаем выражение:
\(x^2 + ((AE - DE) + CD - x)^2 + BD^2 = (AE - DE)^2 + AD^2 + (AE - DE + CD)^2\).

Теперь рассмотрим отдельно \(AD\) и \(BD\):
1) \(AD = AE - DE\)
2) Отрезок \(BD\) является основанием трапеции \(ABCD\), его длина равна \(BC\).

Заметим, что в задаче нам дан радиус круга \(r\), который также является высотой трапеции. Тогда находим значение диагонали \(BD\) по теореме Пифагора:
\(BD^2 = BC^2 + CD^2 = r^2 + (AE - DE)^2\).

Теперь, возвращаемся к выражению для \(AC^2\):
\(x^2 + ((AE - DE) + CD - x)^2 + BD^2 = (AE - DE)^2 + AD^2 + (AE - DE + CD)^2\).

Проводим необходимые вычисления и упрощаем:
\(x^2 + (AE - DE + CD - x)^2 + r^2 + (AE - DE)^2 = (AE - DE)^2 + (AE - DE)^2 + (AE - DE + CD)^2\).

Избавляемся от лишних \((AE - DE)^2\) и упрощаем:
\(x^2 + (AE - DE + CD - x)^2 + r^2 = (AE - DE + CD)^2\).

Выражаем площадь трапеции через боковую сторону и вычисляя получаем:
\(\begin{gathered}
S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot r = \frac{1}{2}(AE - DE + CD + CD) \cdot r = \\
= (AE - DE + CD) \cdot r = \sqrt{(AE - DE + CD)^2 \cdot r^2} = \\
= \sqrt{x^2 + (AE - DE + CD - x)^2 + r^2}
\end{gathered}\)

Таким образом, площадь трапеции равна \(\sqrt{x^2 + (AE - DE + CD - x)^2 + r^2}\). Подставляя известные значения \(r = 6\)см и \(x = 8\)см, получаем:
\(S = \sqrt{8^2 + (AE - DE + CD - 8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + (AE - DE + CD - 8)^2 + 36}\)см².
Таким образом, площадь трапеции равна \(\sqrt{100 + (AE - DE + CD - 8)^2}\)см².