У прямоугольной трапеции MNKL, если угол MNK равен 150° и MN равно 46 см, какова площадь квадрата NKLQ? Ответ выразите

Anton

27

Для начала, давайте вспомним, что такое прямоугольная трапеция. Прямоугольная трапеция - это четырёхугольник, у которого одна пара сторон параллельны. В нашей задаче, сторона MN параллельна стороне KL.

У нас есть данные, что угол MNK равен 150°, а длина стороны MN равна 46 см.

Из данной информации, мы можем сделать несколько выводов. Из угла MNK в 150° следует, что сумма углов KMN и KNM равна 30° (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Мы знаем, что сторона KN равна стороне NM, так как противоположные стороны параллельных сторон прямоугольной трапеции равны.

С помощью теоремы синусов, мы можем найти длину стороны MK, используя угол KMN и длину стороны KN.

По теореме синусов, \(\frac{KN}{\sin(KMN)} = \frac{MK}{\sin(KMN)}\) .

Так как угол KMN равен 30°, а сторона KN равна 46 см, мы можем подставить значения в формулу:

\(\frac{46}{\sin(30°)} = \frac{MK}{\sin(30°)}\) .

Вычислив значение, получаем \(\frac{46}{0.5} = MK\) .

Таким образом, MK равен 92 см.

Теперь рассмотрим треугольник MKN.

Так как внутренний угол в квадрате NKLQ равен 90°, то это означает, что треугольник MKN - прямоугольный треугольник. Так как угол KNM равен 30°, то у нас есть соотношение сторон в прямоугольном треугольнике:

\(\frac{MN}{MK} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Поэтому, \(\frac{46}{92} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) (сократим дробь).

Найдем длину стороны NK, выразив ее через MK:

\(NK = MK \cdot \sqrt{3}\).

Подставляя значение, получаем:

\(NK = 92 \cdot \sqrt{3}\).

Так как сторона NK равна стороне KL (противоположные стороны параллельных сторон прямоугольной трапеции равны),

мы можем сказать, что длина стороны KL равна \(92 \cdot \sqrt{3}\) см.

И наконец, чтобы найти площадь квадрата NKLQ, мы возводим длину стороны KL в квадрат:

\(S = (92 \cdot \sqrt{3})^2\).

Вычисляя значение, получаем:

\(S = 8464 \cdot 3 = 25392\) квадратных сантиметра.

Итак, площадь квадрата NKLQ составляет 25392 квадратных сантиметра.