Какова площадь трапеции Klmn, где угол N равен 30°, длины оснований KL и MN равны соответственно 4 и 12, а длина

Булька_5190

27

Для начала, рассмотрим определение трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны - основания - параллельны, а остальные две стороны - боковые ребра - не параллельны.

В нашем случае, угол N равен 30°, а длины оснований KL и MN равны соответственно 4 и 12. Длина бокового ребра KN не указана.

Для решения задачи, нам необходимо найти площадь трапеции Klmn. Формула для вычисления площади трапеции:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где a и b - длины оснований, а h - высота трапеции, перпендикулярная основаниям.

У нас уже известны длины оснований a = KL = 4 и b = MN = 12.

Теперь нам необходимо найти высоту трапеции. Для этого нам понадобится теорема синусов. По теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего угла в треугольнике равно постоянной величине. В нашем случае, нам известны длины сторон трапеции и угол N. Поэтому мы можем найти длину бокового ребра KN при помощи теоремы синусов.

Теорема синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

В треугольнике KLN, у нас известны длины сторон KL = 4, LN = 12 и угол N = 30°. Пусть x - длина бокового ребра KN. Тогда, используя теорему синусов, можем записать следующее:

\[\frac{4}{\sin 30°} = \frac{x}{\sin(180°-30°-90°)}\]

\[\frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{x}{\sin 60°}\]

\[8 = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[x = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{2}\]

\[x = 4\sqrt{3}\]

Теперь, когда у нас есть длина бокового ребра KN = 4\sqrt{3}, мы можем найти высоту трапеции. Высота трапеции равна перпендикулярному расстоянию между основаниями KL и MN. В нашем случае, высота трапеции будет линией, проходящей из вершины K, перпендикулярно основаниям KL и MN. Обозначим эту высоту как h.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, используя формулу \(S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\). Вставив значения a = 4, b = 12 и найденное значение h в формулу, получим:

\[S = \frac{(4 + 12) \cdot h}{2}\]

Подставив найденное значение h = 4\sqrt{3}, получим:

\[S = \frac{16 \cdot \sqrt{3}}{2}\]

Сокращая дробь, получим:

\[S = 8\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь трапеции Klmn равна 8\sqrt{3}.