У трапеції ABCD (BC | AD), діагональ АС є бісектрисою кута А. Ця діагональ перетинає серединну лінію трапеції у точці

Zayac

15

Щоб вирішити цю задачу, спочатку розглянемо перше запитання.

1. Покажемо, що ZAPB = 90°.
Згідно умови, АС є бісектрисою кута А. Це означає, що кут ZAC дорівнює куту BAC, і кут ZAB дорівнює куту CAB.

Розглянемо тепер трикутник ABC. Позначимо кут ZAC як x і кут ZAB як y. Також позначимо кути кут DJA і кут ADC як a і кут BDC як b.

Оскільки AD || BC (трапеція ABCD), то внутрішні кути трапеції ABCD мають доповнення (сума внутрішніх кутів трапеції дорівнює 180°).
Таким чином, a + b = 180°.

Оскільки ABCD - трапеція і AD || BC, то сума кутів в трикутнику AJD також дорівнює 180°.
Значить, x + a + y = 180°. (1)

Також маємо, що сума кутів в трикутнику ABC дорівнює 180°.
Оскільки ABC - трикутник, то x + y + b = 180°. (2)

Розглянемо тепер трикутник APB. За умовою, площа трикутника APB дорівнює 5 см^2. Ми знаємо, що площа трикутника APB дорівнює половині добутку його основи і висоти. Оскільки АС є бісектрисою кута А, вона також є висотою трикутника APB. Отже, ми можемо записати:
(1/2) * AB * АС = 5 см^2.

Тепер, ми маємо дві рівності, які містять x і y (рівняння (1) і (2)). Ми можемо вирішити ці рівняння, щоб знайти значення x і y.

Розв"яжемо рівняння (1) та (2) відповідно:
x + a + y = 180° (1)
x + y + b = 180° (2)

Віднімемо рівняння (2) від рівняння (1):
x + a + y - (x + y + b) = 180° - 180°
a - b = 0

Отже, a = b.

Тепер повернемось до трикутника ABC. Оскільки a = b, то кути CDA і BCD дорівнюють одне одному.

Згідно властивостей трапеції, діагоналі трапеції поділяються на 2 рівні частини у точці їх перетину. Таким чином, у нашому випадку, Р - це середина діагоналі АС.

Розглянемо тепер трикутник ПRC. Оскільки Р - це середина діагоналі АС, то PR = RC, а також кути П, RC і РС дорівнюють одне одному. Оскільки PR = RC і кути PRC і РСР дорівнюють одне одному, то трикутники PRС і РСР мають відповідні сторони та кути рівні. Отже, трикутники PRС і РСР є рівнобедреними.

В рівнобедреному трикутнику кути при основі є рівними. Тому кути Р и РС бувають рівними, отже, ZAPB = 90°.

Тепер перейдемо до другого запитання.

2. Знайдемо площу трапеції ABCD.

Згідно умови, ВС = 5 см, AD = 13 см, а площа трикутника APB дорівнює 5 см^2.

Ми можемо використати формулу для розрахунку площі трапеції:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

Де \(S\) - площа, \(a\) і \(b\) - основи трапеції, а \(h\) - висота.

Оскільки АC є бісектрисою кута А, то висота може бути знайдена, використовуючи властивості бісектриси та трикутника APB. Отже, \(h = \frac{2S}{AB}\).

Замінивши \(h\) в формулі для площі трапеції, отримаємо:

\[S = \frac{(a + b) \cdot \frac{2S}{AB}}{2}\]

Почистимо це рівняння:

\(AB \cdot S = (a + b) \cdot 2S\)

За умовою задачі ми знаємо, що \(AB = BC + AD\), тобто \(AB = 5 + 13 = 18\) см.

Підставимо це значення в рівняння:

\(18 \cdot S = (a + b) \cdot 2S\)

Скоротимо \(S\) на обох боках рівняння:

\(18 = 2(a + b)\)

Розділимо обидві частини рівняння на 2:

\(9 = a + b\)

Отже, \(a + b = 9\).

Ми також знаємо, що площа трикутника APB дорівнює 5 см^2. Отже, \(2S = 5\).

Розділимо обидві частини рівняння на 2:

\(S = \frac{5}{2} = 2,5\) см^2.

Тепер ми можемо підставити отримані значення a + b і S в початкову формулу для площі трапеції:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

Замінимо a + b на 9 і h на \(\frac{2S}{AB}\):

\[S = \frac{9 \cdot \frac{2,5}{18}}{2}\]

Обчислімо це:

\[S = \frac{9 \cdot 2,5}{36}\]

\[S = \frac{22,5}{36} \approx 0,625\] см^2.

Отже, площа трапеції ABCD становить приблизно 0,625 квадратних сантиметрів.