У треугольника ABC известно, что AC = 22,8 см, ∢ B = 60° и ∢ C = 45°. Упрощенный ответ должен быть в виде целого числа

Iskander

7

Для начала, мы можем использовать треугольник ABC для вычисления других углов. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, мы можем найти угол A следующим образом:

\[\angle A = 180° - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180° - 60° - 45°\]
\[\angle A = 75°\]

Зная теперь все углы треугольника, мы можем приступить к решению задачи.

Сначала, давайте найдем длину отрезка BC при помощи закона синусов. Закон синусов гласит:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a, b и c - стороны треугольника, а A, B и C - соответствующие противолежащие углы.

В нашем случае у нас есть сторона AC и два угла: B и C. Поэтому мы можем записать:

\[\frac{BC}{\sin 75°} = \frac{22,8 \, \text{см}}{\sin 45°}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно BC:

\[BC = \frac{22,8 \, \text{см} \cdot \sin 75°}{\sin 45°}\]

Вычисляем значения синуса углов:

\[\sin 75° \approx 0,9659\]
\[\sin 45° \approx 0,7071\]

Подставляем значения:

\[BC \approx \frac{22,8 \, \text{см} \cdot 0,9659}{0,7071} \approx 31,18 \, \text{см}\]

Таким образом, длина отрезка BC составляет около 31,18 см.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти длину отрезка AB. Теорема косинусов утверждает:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

Где c - сторона, противолежащая углу C, а a и b - остальные две стороны.

В нашем случае у нас есть стороны AC и BC, а также угол A. Поэтому мы можем записать:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A\]

Подставляем значения:

\[AB^2 = 22,8^2 + 31,18^2 - 2 \cdot 22,8 \cdot 31,18 \cdot \cos 75°\]

Вычисляем значения косинуса угла:

\[\cos 75° \approx 0,2588\]

\[\begin{split}AB^2 & = 22,8^2 + 31,18^2 - 2 \cdot 22,8 \cdot 31,18 \cdot 0,2588 \\
& = 519,84 + 970,5124 - 1485,5296 \\
& = 4,8308
\end{split}\]

Таким образом, мы получили, что \(AB^2 \approx 4,8308\).

Упрощение ответа в виде целого числа под знаком корня невозможно в данном случае, так как 4,8308 не является квадратом целого числа.

Значит, окончательный ответ состоит в том, что длина отрезка AB равна \(\sqrt{4,8308}\) см.