У трикутнику AVS, позначено точки D і E на сторонах ПА і АС відповідно. Відомо, що ES = AV = 4, AD = 1, BC = 8, AC

Таинственный_Лепрекон

53

Для розв"язання даної задачі використаємо кілька геометричних та тригонометричних фактів.

1) Косинус кута BAC. Позначимо кут BAC як \(\angle BAC\). Для початку, нам потрібно знайти довжину сторони AB. Оскільки треугольник AVS - рівносторонній (\(AV = VS = 4\)), то сторона AV дорівнює 4. Застосовуючи теорему Піфагора до трикутника АВС, отримуємо:

\[AC^2 = AV^2 + CV^2\]
\[6^2 = 4^2 + CV^2\]
\[36 = 16 + CV^2\]
\[CV^2 = 36 - 16\]
\[CV^2 = 20\]
\[CV = \sqrt{20}\]

Тепер, використовуючи закон косинусів, можемо знайти косинус кута BAC. За цим законом маємо:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{4^2 + 6^2 - 8^2}{2 \cdot 4 \cdot 6}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{16 + 36 - 64}{48}\]
\[\cos(\angle BAC) = \frac{-12}{48}\]
\[\cos(\angle BAC) = -\frac{1}{4}\]

Таким чином, косинус кута BAC дорівнює \(-\frac{1}{4}\).

2) Довжина відрізка DE. Для того, щоб знайти довжину відрізка DE, нам потрібно врахувати властивість, що внутрішній кут проти ланцюжка є протиуголком прямій до тієї сторони, на якій він лежить. Оскільки AD паралельно ES, то ми можемо зробити висновок, що кут DAE також є прямим кутом (90 градусів).

Створюючи трикутник ADE, ми маємо прямий кут DAE, AD = 1 і ES = AV = 4. Ми можемо застосувати теорему Піфагора до цього трикутника, щоб знайти довжину відрізка DE.

\[DE^2 = AE^2 + AD^2\]
\[DE^2 = AE^2 + 1^2\]
\[DE^2 = (AV - EV)^2 + 1^2\]
\[DE^2 = (4 - 4)^2 + 1^2\]
\[DE^2 = 0^2 + 1^2\]
\[DE^2 = 0 + 1\]
\[DE^2 = 1\]
\[DE = \sqrt{1}\]
\[DE = 1\]

Таким чином, довжина відрізка DE дорівнює 1.

Остаточні відповіді:
1) Косинус кута BAC дорівнює -\(\frac{1}{4}\).
2) Довжина відрізка DE дорівнює 1.