У вахтёра есть комната с доской и 12 крючками. На каждом крючке висит по одному ключу. Однажды доска упала и все ключи
У вахтёра есть комната с доской и 12 крючками. На каждом крючке висит по одному ключу. Однажды доска упала и все ключи рассыпались. Вахтёр собрал ключи и повесил их обратно на крючки в случайном порядке. Какова вероятность следующих событий: а) Все ключи висят на своих крючках; б) Хотя бы один ключ не висит на своём крючке; в) Два ключа перепутаны местами, а остальные находятся на своих крючках; г) Ровно один ключ не висит на своём крючке, а остальные находятся на своих.
Zagadochnaya_Sova 38
Давайте решим каждую задачу по очереди.а) Все ключи висят на своих крючках:
Для этого события нам нужно, чтобы все ключи были повешены обратно на свои крючки в правильном порядке. Поскольку ключи были повешены на крючки в случайном порядке, вероятность того, что все ключи будут на своих местах, составляет 1/12. То есть, ответ: вероятность равна \(\frac{1}{12}\).
б) Хотя бы один ключ не висит на своём крючке:
Для этого события нам нужно рассмотреть все возможные случаи, когда хотя бы один ключ находится не на своем месте, а остальные на своих. Вычислить количество таких вариантов можно следующим образом: выберем один из 12 ключей, который будет находиться не на своем месте. Затем выберем место для этого ключа из оставшихся 11 крючков. Таким образом, количество вариантов будет равно \(12 \times 11 = 132\). Всего возможных вариантов повесить ключи на крючки - \(12!\) (12 факториал), так как каждый ключ может быть повешен на любой крючок. То есть, ответ: вероятность равна \(\frac{132}{12!}\).
в) Два ключа перепутаны местами, а остальные находятся на своих крючках:
Для этой задачи нам нужно выбрать два ключа, которые будут перепутаны местами, и повесить остальные ключи на свои крючки. Количество вариантов выбрать два ключа для перестановки равно \(C_{12}^2 = \frac{12!}{2!\times(12-2)!} = 66\). Остается повесить остальные ключи на свои крючки, что дает нам \(10!\) возможных комбинаций. То есть, ответ: вероятность равна \(\frac{66 \times 10!}{12!}\).
г) Ровно один ключ не висит на своём крючке, а остальные находятся на своих:
Для этого события нам нужно рассмотреть все возможные случаи, когда только один ключ находится не на своем месте, а остальные на своих. Количество вариантов для выбора ключа, который будет находиться не на своем месте, равно 12. Затем выбираем крючок для этого ключа, которое равно 11 вариантов. Оставшиеся 10 ключей повешены на свои крючки, что дает нам \(10!\) комбинаций. Ответ: вероятность равна \(\frac{12 \times 11 \times 10!}{12!}\).
Надеюсь, ответы понятны. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!