У вас есть тетраэдр abcd. Точка м является точкой пересечения медиан треугольника авс, при этом da=а, db=b, dc=c

Volshebnik

21

Давайте разложим векторы по заданным векторам.

а) Для начала разложим вектор \(\overrightarrow{dm}\). Заметим, что вектор \(\overrightarrow{dm}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{da}\) и \(\overrightarrow{am}\). Таким образом, имеем:

\[\overrightarrow{dm} = \overrightarrow{da} + \overrightarrow{am}\]

Так как \(\overrightarrow{da} = \mathbf{a}\), а \(\overrightarrow{am}\) является вектором медианы треугольника \(\triangle ACS\), можно представить его как сумму двух векторов \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{bm}\):

\[\overrightarrow{am} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bm}\]

Таким образом, получаем окончательное разложение вектора \(\overrightarrow{dm}\):

\[\overrightarrow{dm} = \mathbf{a} + (\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bm})\]

б) Теперь разложим вектор \(\overrightarrow{av}\). Заметим, что вектор \(\overrightarrow{av}\) является вектором медианы треугольника \(\triangle ABC\). Он может быть представлен как сумма векторов \(\overrightarrow{ac}\) и \(\overrightarrow{cv}\). Таким образом, имеем:

\[\overrightarrow{av} = \overrightarrow{ac} + \overrightarrow{cv}\]

Так как \(\overrightarrow{ac} = \mathbf{a}\), а \(\overrightarrow{cv}\) представляет собой вектор медианы треугольника \(\triangle BCS\), можем представить его как сумму векторов \(\overrightarrow{cb}\) и \(\overrightarrow{bv}\):

\[\overrightarrow{cv} = \overrightarrow{cb} + \overrightarrow{bv}\]

Таким образом, получаем окончательное разложение вектора \(\overrightarrow{av}\):

\[\overrightarrow{av} = \mathbf{a} + (\overrightarrow{cb} + \overrightarrow{bv})\]

в) Последним разложим вектор \(\overrightarrow{am}\). Здесь вектор \(\overrightarrow{am}\) уже разложен в предыдущем разборе и представляет собой сумму векторов \(\overrightarrow{ab}\) и \(\overrightarrow{bm}\). Таким образом, имеем:

\[\overrightarrow{am} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bm}\]

Так что нет необходимости делать новое разложение для вектора \(\overrightarrow{am}\).

Итак, окончательно разложив векторы, получим:

а) \(\overrightarrow{dm} = \mathbf{a} + (\overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bm})\)

б) \(\overrightarrow{av} = \mathbf{a} + (\overrightarrow{cb} + \overrightarrow{bv})\)

в) \(\overrightarrow{am} = \overrightarrow{ab} + \overrightarrow{bm}\)