Угол A в неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC равен 60∘. Точка пересечения высот BB1 и CC1 обозначается

Mihail

46

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства остроугольных треугольников и высот.

Вершина треугольника A образует прямоугольный треугольник ABH с высотой BH.
Аналогично, вершина B образует прямоугольный треугольник BB1C с высотой BB1,
а вершина C образует прямоугольный треугольник CC1B с высотой CC1.

Так как угол A равен 60°, а треугольник ABC остроугольный, угол B равен углу C и равен (180° - 60° - 60°) = 60°.

Посмотрим на каждую из 7 величин, данные в задаче, и посчитаем их значения:

1) AB + AC: Сумма длин сторон AB и AC равна длине стороны BC, так как треугольник ABC является остроугольным. Таким образом, AB + AC = BC.

2) BB1 + CC1: Это сумма длин высот BB1 и CC1 треугольника ABC. Сумма высот треугольника ABC всегда равна длине медианы треугольника, проведенной из вершины A. В остроугольных треугольниках центр масс находится внутри треугольника, поэтому медиана не пересекает высоты. Таким образом, BB1 + CC1 = BC.

3) 2BC: Это удвоенная длина стороны BC.

4) BC1 + C1B1 + B1C: Сумма длин отрезков BC1, C1B1 и B1C равна длине окружности, описанной около треугольника ABC, так как BC1 = CC1, C1B1 = BB1 и B1C = CC1.

5) BC1 + B1C: Сумма длин отрезков BC1 и B1C равна длине стороны AC, так как треугольник ABC является остроугольным и сторона AC является противоположной стороне B1C.

6) BC1 + C1C: Сумма длин отрезков BC1 и C1C равна длине стороны AB, так как треугольник ABC является остроугольным и сторона AB является противоположной стороне BC1.

7) BH + CH: Сумма длин отрезков BH и CH равна высоте треугольника ABC, проведенной из вершины A.

Теперь упорядочим эти величины в порядке убывания:

1) AB + AC = BC
2) BB1 + CC1 = BC
3) 2BC
4) BC1 + C1B1 + B1C = окружность, описанная около треугольника ABC
5) BC1 + B1C = AC
6) BC1 + C1C = AB
7) BH + CH = высота треугольника ABC

Таким образом, порядок убывания данных величин: 7 4 6 1 5 2 3.