Укажите пары координат точек R и T, которые соответствуют уравнениям окружностей. 1) Какие координаты точек R

Лебедь

42

Решим каждую задачу по порядку:

1) Уравнение окружности: \((x+5)^2 + (y-4)^2 = 9\)

Чтобы найти координаты точек R и T, удовлетворяющие этому уравнению, мы должны помнить, что (\(x\),\(y\)) - это координаты точки на плоскости.

Если раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду окружности, получим:

\(x^2 + 10x + 25 + y^2 - 8y + 16 = 9\)

\(x^2 + y^2 + 10x - 8y + 32 = 9\)

\(x^2 + y^2 + 10x - 8y + 23 = 0\)

Мы видим, что коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнении \(ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0\) равны:

\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 10\), \(d = -8\), \(e = 23\)

Теперь найдем радиус и центр окружности. Мы знаем, что уравнение окружности в стандартной форме имеет вид \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\), где \((h,k)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Используя формулы:

\(h = -\frac{c}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 1}\)

\(k = -\frac{d}{2b} = -\frac{-8}{2 \cdot 1}\)

\(r = \sqrt{h^2 + k^2 - e} = \sqrt{\left(-\frac{10}{2}\right)^2 + \left(-\frac{-8}{2}\right)^2 - 23}\)

После вычислений получаем:

\(h = -5\), \(k = 4\), \(r \approx 3.162\)

Теперь можем найти координаты точек R и T, используя центр окружности и радиус:

Точка R: \((-5+3.162, 4)\) или просто \((-1.838, 4)\)

Точка T: \((-5-3.162, 4)\) или просто \((-8.162, 4)\)

2) Уравнение окружности: \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 25\)

Аналогично, раскроем скобки и приведем уравнение к стандартной форме:

\(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 25\)

\(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 27 = 0\)

Анализируя коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), и \(e\), находим:

\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -2\), \(d = -2\), \(e = 27\)

Теперь найдем центр и радиус окружности:

\(h = -\frac{c}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1}\)

\(k = -\frac{d}{2b} = -\frac{-2}{2 \cdot 1}\)

\(r = \sqrt{h^2 + k^2 - e} = \sqrt{\left(-\frac{-2}{2}\right)^2 + \left(-\frac{-2}{2}\right)^2 - 27}\)

После вычислений получаем:

\(h = 1\), \(k = 1\), \(r \approx 5\)

Теперь можем найти координаты точек R и T:

Точка R: \((1+5, 1)\), или \((6, 1)\)

Точка T: \((1-5, 1)\), или \((-4, 1)\)

3) Уравнение окружности: \((x+1)^2 + (y+4)^2 = 36\)

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

\(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 8y + 16 = 36\)

\(x^2 + y^2 + 2x + 8y - 19 = 0\)

Анализируя коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), и \(e\), находим:

\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\), \(d = 8\), \(e = -19\)

Теперь найдем центр и радиус окружности:

\(h = -\frac{c}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1}\)

\(k = -\frac{d}{2b} = -\frac{8}{2 \cdot 1}\)

\(r = \sqrt{h^2 + k^2 - e} = \sqrt{\left(-\frac{2}{2}\right)^2 + \left(-\frac{8}{2}\right)^2 + 19}\)

После вычислений получаем:

\(h = -1\), \(k = -4\), \(r \approx 6\)

Теперь можем найти координаты точек R и T:

Точка R: \((-1+6, -4)\), или \((5, -4)\)

Точка T: \((-1-6, -4)\), или \((-7, -4)\)

Таким образом, ответы на задачи выглядят следующим образом:

1) Точки R и T имеют координаты \((-1.838, 4)\) и \((-8.162, 4)\)

2) Точки R и T имеют координаты \((6, 1)\) и \((-4, 1)\)

3) Точки R и T имеют координаты \((5, -4)\) и \((-7, -4)\)

Надеюсь, эти подробные решения помогли вам разобраться в задачах! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!