Уравнение окружности: x2+y2=1. Уравнение прямой: y=b. Найдите значения b, при которых... 1. ...прямая пересекает

Максимович

46

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения параметра \( b \), при которых прямая \( y = b \) пересекает окружность \( x^2 + y^2 = 1 \) в одной точке, в двух точках или не пересекает окружность вовсе.

1. Прямая пересекает окружность в одной точке:

Чтобы прямая пересекала окружность только в одной точке, она должна быть касательной к окружности. У нас есть уравнение окружности \( x^2 + y^2 = 1 \), а уравнение прямой имеет вид \( y = b \).

Для того чтобы прямая \( y = b \) была касательной к окружности, необходимо, чтобы только одна точка прямой лежала на окружности. Подставим \( y = b \) в уравнение окружности и решим полученное уравнение относительно \( x \):

\[ x^2 + b^2 = 1 \]

Это уравнение квадратное относительно \( x \). Решение данного уравнения даст нам единственную точку пересечения прямой и окружности. Решая это уравнение, получим:

\[ x = \pm \sqrt{1 - b^2} \]

Чтобы прямая пересекала окружность только в одной точке, необходимо, чтобы для решения уравнения \( x \) был только один корень. Это будет выполняться, если значение выражения \( 1 - b^2 \) равно нулю. Следовательно:

\[ 1 - b^2 = 0 \]

Решим это уравнение относительно \( b \):

\[ b^2 = 1 \]

\[ b = \pm 1 \]

Таким образом, значение \( b \) составляет +/- 1 при условии, что прямая пересекает окружность только в одной точке.

2. Прямая пересекает окружность в двух точках:

Чтобы прямая пересекала окружность в двух точках, она должна пересекать окружность, не будучи касательной. Из предыдущего пункта мы уже знаем, что значение параметра \( b \) должно быть отличным от +/- 1, чтобы прямая пересекала окружность в двух точках.

3. Прямая не пересекает окружность:

Прямая не будет пересекать окружность, если она расположена выше или ниже окружности и не имеет точек пересечения с ней. В этом случае значение параметра \( b \) может быть любым, кроме +/- 1.

Итак, чтобы ответить на вопросы:

1. Прямая пересекает окружность в одной точке: \( b = \pm 1 \)
2. Прямая пересекает окружность в двух точках: любое значение \( b \), кроме +/- 1
3. Прямая не пересекает окружность: нет значений \( b \)