Уравнение сферы задано следующим образом: x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36 а) Необходимо найти координаты центра и радиус

Витальевич

24

Давайте начнем с задачи а) и найдем координаты центра и радиус сферы. У нас дано уравнение сферы: \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y = 36\).

Чтобы найти координаты центра сферы, нам нужно выразить \(x\), \(y\) и \(z\) через параметры: \((h, k, l)\). Заметим, что коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнении дважды присутствуют, что говорит о наличии полных квадратов. Давайте перепишем уравнение, завершив квадраты, и проведем необходимые преобразования:

\((x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + z^2 = 36\)

\((x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + z^2 = 36 + 4 + 9\)

\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 49\)

Теперь у нас есть уравнение сферы в форме \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\), где \((h, k, l)\) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Из нашего уравнения следует, что центр сферы \((h, k, l)\) равен \((2, -3, 0)\).

Теперь найдем радиус сферы \(r\). Мы уже заметили, что уравнение сферы имеет форму \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\). Поэтому радиус можно найти из квадратного корня правой стороны уравнения.

Мы видим, что \(r^2 = 49\), поэтому радиус \(r\) равен 7.

Итак, координаты центра сферы равны \((2, -3, 0)\), а радиус сферы равен 7.

Теперь перейдем к задаче б) и найдем значение \(m\), при котором точки \((m, -3, 1)\) и \((5, -1, m - 1)\) принадлежат этой сфере.

Для того чтобы точка принадлежала сфере, она должна удовлетворять уравнению сферы. Подставим координаты точки \((m, -3, 1)\) в уравнение сферы и сверим полученное равенство:

\((m - 2)^2 + (-3 + 3)^2 + 1^2 = 7^2\)

\((m - 2)^2 + 1 = 49\)

\(m^2 - 4m + 4 + 1 = 49\)

\(m^2 - 4m - 44 = 0\)

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Давайте решим его, используя квадратное уравнение или факторизацию.

Факторизуем:

\((m - 11)(m + 4) = 0\)

Отсюда следует, что \(m = 11\) или \(m = -4\).

Таким образом, для того чтобы точки \((m, -3, 1)\) и \((5, -1, m - 1)\) принадлежали данной сфере, значение \(m\) должно быть равно 11 или -4.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!