Какова мера угла между диагоналями параллелограмма abcd, если векторы ab(3; 4) и ad(4; 3) являются его сторонами?

Мартышка

31

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала вспомним определение параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

В данной задаче у нас даны векторы \(\overrightarrow{AB}(3;4)\) и \(\overrightarrow{AD}(4;3)\), которые являются сторонами параллелограмма.

Шаг 1: Найдем векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\).
Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{AC}\), нужно вычесть из координат точки C координаты точки A:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\).
Точка C не указана в задаче, но так как у нас параллелограмм, то векторы, идущие от одной вершины до другой, равны по модулю и направлению.
Таким образом, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}\).

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (x_C, y_C) - (x_A, y_A)\).

Координаты вектора \(\overrightarrow{AC}\) равны разности координат точки C и точки A:
\(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)\).

Таким образом, \(\overrightarrow{AC} = (x_C - 3, y_C - 4)\).

Аналогично, \(\overrightarrow{BD} = (x_D - 4, y_D - 3)\).

Шаг 2: Проверим, являются ли векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) параллельными.
Если векторы являются параллельными, то их координатные отношения должны быть равны.

\(\overrightarrow{AC} = (x_C - 3, y_C - 4)\)
\(\overrightarrow{BD} = (x_D - 4, y_D - 3)\)

Находим отношение координат:
\(\frac{x_C - 3}{x_D - 4} = \frac{y_C - 4}{y_D - 3}\)

Шаг 3: Решаем уравнение.
Умножаем крест на крест:
\((x_C - 3)(y_D - 3) = (y_C - 4)(x_D - 4)\)

Раскрываем скобки и упрощаем:
\(x_Cy_D - 3y_D - 3x_C + 9 = y_Cx_D - 4x_D - 4y_C + 16\)

Упорядочиваем и объединяем подобные члены:
\(x_Cy_D - y_Cx_D - 3x_C + 4y_C + 3y_D - 4x_D = 7\)

Шаг 4: Находим меру угла между диагоналями параллелограмма.
По свойству параллелограмма, диагонали делятся пополам. То есть, точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ на две равные части.

Пусть точка пересечения диагоналей - это точка M. По свойству параллелограмма, точка M является серединой диагонали AC.

Тогда, вектор AM равен половине вектора AC:
\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(x_C - 3, y_C - 4)\)

Аналогично, вектор DM равен половине вектора BD:
\(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}(x_D - 4, y_D - 3)\)

Шаг 5: Находим скалярное произведение векторов AM и DM.
Скалярное произведение векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. То есть, если скалярное произведение векторов AM и DM равно нулю, то диагонали параллелограмма перпендикулярны.

Найдем скалярное произведение:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}(x_C - 3, y_C - 4) \cdot \frac{1}{2}(x_D - 4, y_D - 3)\)

Раскрываем скобки и упрощаем:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DM} = \frac{1}{4}(x_C - 3)(x_D - 4) + \frac{1}{4}(y_C - 4)(y_D - 3)\)

Шаг 6: Подставляем значения координат из условия.
Используем значение координат из векторов AB(3;4) и AD(4;3).
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DM} = \frac{1}{4}(3 - 3)(4 - 4) + \frac{1}{4}(4 - 4)(3 - 3)\)

Вычисляем:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{DM} = \frac{1}{4}(0) + \frac{1}{4}(0) = 0\)

Таким образом, скалярное произведение векторов AM и DM равно нулю, что говорит о том, что диагонали параллелограмма перпендикулярны.

Шаг 7: Находим меру угла между диагоналями.
Если диагонали перпендикулярны, то мера угла между ними равна 90 градусам.

Таким образом, мера угла между диагоналями параллелограмма в данной задаче равна 90 градусам.

Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задайте их.