Узнайте вероятность того, что при проведении 300 выстрелов будет количество попаданий

Valeriya

12

Для решения данной задачи посчитаем вероятность попадания при одном выстреле, а затем найдем вероятность получения заданного количества попаданий при 300 выстрелах.

Допустим, вероятность попадания при одном выстреле равна \(p\), а вероятность промаха равна \(q\), где \(q = 1-p\).

Так как при каждом выстреле может произойти два события - попадание или промах, то мы можем использовать распределение Бернулли для нахождения вероятности заданного количества попаданий при 300 выстрелах.

Формула распределения Бернулли имеет вид:
\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}\]

где
\(C_n^k\) - число сочетаний из n по k (в данном случае, число сочетаний из 300 по k),
\(p^k\) - вероятность исхода k попаданий,
\(q^{(n-k)}\) - вероятность исхода (n-k) промахов.

Для нахождения вероятности заданного количества попаданий при 300 выстрелах, нам нужно взять \(P(X=k)\) при \(k\) равном 0, 1, 2 и т.д., до количества попаданий, которое нас интересует.

Давайте рассчитаем вероятность получения 0, 1, 2, ..., 300 попаданий.

1. Вероятность получения 0 попаданий:
\[P(X=0) = C_{300}^0 \cdot p^0 \cdot q^{(300-0)} = q^{300}\]

2. Вероятность получения 1 попадания:
\[P(X=1) = C_{300}^1 \cdot p^1 \cdot q^{(300-1)} = 300 \cdot p \cdot q^{299}\]

3. Вероятность получения 2 попаданий:
\[P(X=2) = C_{300}^2 \cdot p^2 \cdot q^{(300-2)} = \frac{300 \cdot 299}{2} \cdot p^2 \cdot q^{298}\]

И так далее, продолжая по аналогии для остальных значений попаданий.

Теперь, чтобы найти вероятность получения заданного количества попаданий, нужно сложить все найденные вероятности.

Например, пусть нам нужно найти вероятность получения ровно 10 попаданий при 300 выстрелах. Тогда мы должны сложить вероятности \(P(X=10), P(X=11), P(X=12), \ldots, P(X=300)\).

Формула для общего случая будет выглядеть следующим образом:
\[P(X=k) = C_{300}^k \cdot p^k \cdot q^{(300-k)}\]

Теперь, когда у нас есть формула для вероятности заданного количества попаданий при 300 выстрелах, мы можем приступить к конкретным вычислениям, если это необходимо для данной задачи.