В базисе, состоящем из векторов а=(2,1,3), b=(1,0, 2), c=(1,2, 3), вектор х=(9,5,16) имеет следующие координаты

Магия_Реки_828

62

Для решения этой задачи мы можем использовать метод Гаусса, чтобы найти коэффициенты вектора х в базисе, состоящем из векторов а, b и с.

Шаг 1: Создаем расширенную матрицу

Начнем с создания расширенной матрицы, где первые три столбца будут содержать координаты векторов а, b и с, а последний столбец будет содержать координаты вектора х.

\[ \begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 9 \\
1 & 0 & 2 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 16 \\
\end{bmatrix} \]

Шаг 2: Приведение матрицы к треугольному виду

Теперь мы преобразуем матрицу, применяя элементарные преобразования строк, чтобы привести ее к треугольному виду. Наша цель - сделать элементы под главной диагональю (диагональной линией от верхнего левого до нижнего правого угла) равными нулю.

Выполним следующие операции для достижения этой цели:

- Строка 2 = Строка 2 - 0.5 * Строка 1
- Строка 3 = Строка 3 - 0.5 * Строка 1

\[ \begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 9 \\
0 & -0.5 & 0.5 & -2.5 \\
0 & 1.5 & 1.5 & 11.5 \\
\end{bmatrix} \]

- Строка 3 = Строка 3 - 3 * Строка 2

\[ \begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 & 9 \\
0 & -0.5 & 0.5 & -2.5 \\
0 & 0 & 0 & 18 \\
\end{bmatrix} \]

Шаг 3: Обратный ход Гаусса

Теперь мы можем применить обратный ход Гаусса, чтобы найти значения коэффициентов вектора х. Для этого выполняем следующие операции:

- Строка 2 = Строка 2 / -0.5
- Строка 1 = Строка 1 - Строка 2 * 1
- Строка 1 = Строка 1 / 2

\[ \begin{bmatrix}
1 & 0.5 & 1.5 & 4.5 \\
0 & 1 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 18 \\
\end{bmatrix} \]

Ответ: Координаты вектора х в базисе, состоящем из векторов а, b и с, равны (4.5, 5, 18).

Обоснование: Мы нашли коэффициенты вектора х, решая систему линейных уравнений, полученную из матрицы. Каждое элементарное преобразование строк соответствует операции над векторами. Наше решение вектора х в базисе а, b и с обеспечивает линейную комбинацию этих векторов, равную вектору х.