В циліндрі проведено площиною, паралельною його осі, переріз, який перетинає основу по хорді АВ. Відстань

Лина_35

46

Давайте решим данную задачу поэтапно.

1) Для нахождения длины хорды \(AB\) воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника. Пусть \(OC\) — отрезок, проведенный от оси цилиндра до перереза, а \(OB\) — радиус цилиндра. Так как расстояние от оси до перереза равно 8 см, а радиус равен 17 см, получаем следующее уравнение:
\[
OB^2 = OC^2 + BC^2.
\]
Так как \(OC = 8\) и \(OB = 17\), можем подставить значения в уравнение:
\[
17^2 = 8^2 + BC^2.
\]
Вычисляя, получаем:
\[
BC^2 = 289 - 64.
\]
Отсюда следует, что \(BC = \sqrt{225} = 15\) см. Так как у хорды \(AB\) имеется свойства равенства, то ее длина равна удвоенной длине отрезка \(BC\): \(AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 15 = 30\) см.

2) Поскольку перерез является квадратом, его диагональ будет сутью его стороны. Чтобы найти диагональ перереза, необходимо найти длину его стороны.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника. Пусть \(OD\) — отрезок, проведенный от оси цилиндра до точки пересечения диагонали перереза с окружностью осевого сечения, а \(OB\) — радиус цилиндра. Так как расстояние от оси до перереза равно 8 см, а радиус равен 17 см, получаем следующее уравнение:
\[
OB^2 = OD^2 + DB^2.
\]
Так как \(OD = 8\) и \(OB = 17\), можем подставить значения в уравнение:
\[
17^2 = 8^2 + DB^2.
\]
Вычисляя, получаем:
\[
DB = \sqrt{289 - 64}.
\]
Отсюда следует, что длина стороны квадрата равна \(DB = \sqrt{225} = 15\) см. А длина диагонали будет равна \(d = DB \cdot \sqrt{2} = 15 \cdot \sqrt{2}\) см.

3) Площадь квадрата определяется формулой: \(S = a^2\), где \(a\) — длина стороны квадрата. Подставив значение \(a = 15\) см, получим: \(S = 15^2 = 225\) см\(^2\).

4) Для нахождения площади перереза, параллельного плоскости основы, воспользуемся формулой площади кругового сегмента. Площадь кругового сегмента равна разности площадей сектора и треугольника, образованных хордой.
Площадь сектора можно найти, используя формулу: \(S_{\text{сектора}} = \frac{{\alpha}}{360} \cdot \pi r^2\), где \(\alpha\) — центральный угол, \(\pi\) — число Пи (приближенно равно 3.14), \(r\) — радиус цилиндра.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона: \(S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) — полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) — длины его сторон.
Так как у нас прямоугольный треугольник, то длины его сторон получены в пункте 1: \(a = b = 15\), \(c = AB = 30\).
Подставив все значения в формулы и произведя необходимые вычисления, получим:
\[
S_{\text{перереза}} = S_{\text{сектора}} - S_{\text{треугольника}} = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 - \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
\]
Точное значение \(\alpha\) явно не указано в условии задачи. Если уточнить его, то можно будет точно найти площадь перереза.

5) Площадь осевого перереза цилиндра равна площади круга, так как он пересекает ось цилиндра. Площадь круга определяется формулой: \(S = \pi r^2\), где \(r\) — радиус цилиндра. Подставив значение радиуса \(r = 17\) см, получим: \(S = \pi \cdot 17^2\) см\(^2\).

Надеюсь, это подробное пошаговое решение поможет вам понять данный материал. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!