Як розв язати прямокутний трикутник, якого гіпотенуза дорівнює 28 см, а один з гострих кутів дорівнює 12°?

Алекс

46

Для решения этой задачи нам понадобятся основные свойства прямоугольного треугольника и функции тригонометрии.

Дано, что гипотенуза треугольника равна 28 см. Первым шагом нам нужно найти длины катетов.

Используя основное свойство прямоугольного треугольника, мы знаем, что сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. То есть, если обозначить длины катетов буквами \(a\) и \(b\), то у нас получается следующее уравнение:

\[a^2 + b^2 = 28^2\]

Также, нам дано, что один из острых углов треугольника равен 12°. Это может намекать на использование тригонометрической функции. В данном случае, мы можем использовать функцию тангенса, так как у нас есть противолежащий катет и гипотенуза.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначим противолежащий катет буквой \(a\) и гипотенузу буквой \(c\). Тогда:

\[\tan(12^\circ) = \frac{a}{c}\]

Используя данное условие, мы можем выразить противолежащий катет \(a\) через гипотенузу \(c\):

\[a = c \cdot \tan(12^\circ)\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} a^2 + b^2 = 28^2 \\ a = 28 \cdot \tan(12^\circ) \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения и вычитания. В данном случае, давайте воспользуемся методом подстановки.

Сначала найдём значение противолежащего катета \(a\):

\[a = 28 \cdot \tan(12^\circ) \approx 6.21 \, \text{см}\]

Теперь подставим найденное значение \(a\) в первое уравнение:

\[(6.21)^2 + b^2 = 28^2\]

Решив это уравнение, получим значение для катета \(b\):

\[b^2 \approx 28^2 - (6.21)^2\]
\[b \approx \sqrt{28^2 - (6.21)^2} \approx 27.53 \, \text{см}\]

Таким образом, длина первого катета равна примерно 6.21 см, а длина второго катета - примерно 27.53 см.

Можно также выразить значения катетов через синус и косинус заданного угла, однако для данной задачи угол не является круглым числом, поэтому значения синуса и косинуса угла 12° могут быть дробными и неуклюжими для расчёта. В данном решении мы использовали тангенс, который является более удобным в данной ситуации.