В каком диапазоне с вероятностью 0,9 находится количество жителей города среди студентов из группы, состоящей

Solnechnyy_Bereg_2123

52

Для решения этой задачи нам нужно узнать диапазон значений количества жителей города среди студентов из группы. Начнем с определения количества студентов, выходцев из сельской местности.

Из условия задачи известно, что 20% студентов являются выходцами из сельской местности. Давайте найдем это значение.

Для этого нужно найти 20% от 28. Для этого умножим 28 на 0,2:

$$0,2\times 28=5,6$$

Значит, 5,6 студентов из группы являются выходцами из сельской местности. Поскольку количество студентов не может быть дробным числом, округлим это значение до ближайшего целого: 6.

Теперь у нас есть общее количество студентов, выходцев из сельской местности, и мы можем найти диапазон значений количества жителей города среди остальных студентов.

Поскольку нам нужно найти диапазон значений с вероятностью 0,9, мы можем использовать применимый статистический метод под названием доверительный интервал. Общая формула для этого:

$$Дов.интервал=\bar{X}\pm z\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Где:
- $\bar{X}$ - среднее значение выборки
- $z$ - значение z-статистики, соответствующее уровню доверия (в нашем случае 0,9)
- $\sigma$ - стандартное отклонение выборки
- $n$ - размер выборки

В данном случае, $\bar{X}$ будет равно количеству жителей города среди остальных студентов (то есть общее количество студентов минус количество студентов, выходцев из сельской местности). Давайте найдем это значение:

$\bar{X}=28-6=22$

Теперь мы должны найти значение z-статистики, соответствующее уровню доверия 0,9. Для этого мы будем использовать таблицу z-значений или статистический калькулятор. В нашем случае, мы найдем $z$ для уровня доверия 0,9, что будет равно 1,645 (подглядывая в таблицу).

Следующим шагом является нахождение стандартного отклонения выборки $\sigma$. Вместо его непосредственного вычисления, мы можем использовать формулу для стандартного отклонения пропорции, поскольку интересующие нас значения являются частями от общего количества студентов:

$$\sigma =\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Где:
- $p$ - пропорция, отражающая долю студентов, не являющихся выходцами из сельской местности. Чтобы найти ее значение, нужно поделить общее количество таких студентов на общее количество студентов. В данном случае:

$p=\frac{22}{28}\approx 0,7857$

- $n$ - размер выборки, в нашем случае $n=28-6=22$

Давайте найдем значение стандартного отклонения выборки $\sigma$:

$$\sigma =\sqrt{\frac{0,7857\times (1-0,7857)}{22}}\approx 0,1371$$

Собрав все эти значения, мы можем вычислить доверительный интервал:

$$Дов.интервал=22\pm 1,645\times \frac{0,1371}{\sqrt{22}}$$

Посчитаем его:

$$Дов.интервал=22\pm 1,645\times 0,0292$$

$$Дов.интервал\approx 22\pm 0,048$$

Таким образом, с вероятностью 0,9 количество жителей города среди студентов из группы находится в диапазоне от приблизительно 21,952 до 22,048.