В каком диапазоне с вероятностью 0,9 находится количество жителей города среди студентов из группы, состоящей

Solnechnyy_Bereg_2123

52

Для решения этой задачи нам нужно узнать диапазон значений количества жителей города среди студентов из группы. Начнем с определения количества студентов, выходцев из сельской местности.

Из условия задачи известно, что 20% студентов являются выходцами из сельской местности. Давайте найдем это значение.

Для этого нужно найти 20% от 28. Для этого умножим 28 на 0,2:

\[0,2 \times 28 = 5,6\]

Значит, 5,6 студентов из группы являются выходцами из сельской местности. Поскольку количество студентов не может быть дробным числом, округлим это значение до ближайшего целого: 6.

Теперь у нас есть общее количество студентов, выходцев из сельской местности, и мы можем найти диапазон значений количества жителей города среди остальных студентов.

Поскольку нам нужно найти диапазон значений с вероятностью 0,9, мы можем использовать применимый статистический метод под названием доверительный интервал. Общая формула для этого:

\[Дов. интервал = \overline{X} \pm z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Где:
- \(\overline{X}\) - среднее значение выборки
- \(z\) - значение z-статистики, соответствующее уровню доверия (в нашем случае 0,9)
- \(\sigma\) - стандартное отклонение выборки
- \(n\) - размер выборки

В данном случае, \(\overline{X}\) будет равно количеству жителей города среди остальных студентов (то есть общее количество студентов минус количество студентов, выходцев из сельской местности). Давайте найдем это значение:

\(\overline{X} = 28 - 6 = 22\)

Теперь мы должны найти значение z-статистики, соответствующее уровню доверия 0,9. Для этого мы будем использовать таблицу z-значений или статистический калькулятор. В нашем случае, мы найдем \(z\) для уровня доверия 0,9, что будет равно 1,645 (подглядывая в таблицу).

Следующим шагом является нахождение стандартного отклонения выборки \(\sigma\). Вместо его непосредственного вычисления, мы можем использовать формулу для стандартного отклонения пропорции, поскольку интересующие нас значения являются частями от общего количества студентов:

\[\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Где:
- \(p\) - пропорция, отражающая долю студентов, не являющихся выходцами из сельской местности. Чтобы найти ее значение, нужно поделить общее количество таких студентов на общее количество студентов. В данном случае:

\(p = \frac{22}{28} \approx 0,7857\)

- \(n\) - размер выборки, в нашем случае \(n = 28 - 6 = 22\)

Давайте найдем значение стандартного отклонения выборки \(\sigma\):

\[\sigma = \sqrt{\frac{0,7857 \times (1 - 0,7857)}{22}} \approx 0,1371\]

Собрав все эти значения, мы можем вычислить доверительный интервал:

\[Дов. интервал = 22 \pm 1,645 \times \frac{0,1371}{\sqrt{22}}\]

Посчитаем его:

\[Дов. интервал = 22 \pm 1,645 \times 0,0292\]

\[Дов. интервал \approx 22 \pm 0,048\]

Таким образом, с вероятностью 0,9 количество жителей города среди студентов из группы находится в диапазоне от приблизительно 21,952 до 22,048.