В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 7 в вершину A установили прямоугольную систему координат, где оси x, y и z соответствуют
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 7 в вершину A установили прямоугольную систему координат, где оси x, y и z соответствуют ребрам AB, AD и AA1. На ребре BB1 точка K отмечена так, что KB равно 4. Плоскость альфа, проходящая через точки K и C1 и параллельная прямой BD1, пересекает ребро A1B1 в точке P. Найдите уравнение этой плоскости и определите расстояние от вершины до неё. Введите полученное значение расстояния, округленное до сотых.
Мурлыка 69
Дано: \(a = 7\), \(KB = 4\).1. Нахождение координат точки K:
Координаты вершины \(B\) будут (0, 7, 0), и тогда координаты точки \(K\) будут (0, 7, 4).
2. Нахождение координат точки \(C1\):
Так как \(C1\) лежит на ребре \(AA1\), и \(AC1 = AB = 7\), то координаты \(C1\) будут (7, 0, 0).
3. Нахождение уравнения плоскости \(\alpha\):
Возьмем направляющий вектор прямой \(BD1\), который равен \(\vec{BD1} = \vec{B} - \vec{D1} = (0, 7, 7) - (7, 7, 0) = (-7, 0, 7)\).
Теперь у нас есть направляющий вектор прямой и точка \(K\) на этой прямой. Уравнение плоскости можно найти используя точку \(K\) и направляющий вектор.
Уравнение плоскости в общем виде: \(Ax + By + Cz = D\).
Подставляем координаты точки \(K\) и получаем \(0 \cdot A + 7 \cdot B + 4 \cdot C = D\), исходя из условия \(KB = 4\).
Подставляем координаты точки \(K\) (0, 7, 4) в уравнение и получаем \(28B + 16C = D\).
Теперь подставляем координаты точки \(C1\) (7, 0, 0) и находим D: \(28 \cdot 0 + 16 \cdot 0 = D\), то есть \(D = 0\).
Следовательно, уравнение плоскости \(\alpha\) имеет вид: \(28B + 16C = 0\), или сокращенно: \(7B + 4C = 0\).
4. Нахождение расстояния от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\):
Расстояние от точки \(A\) до плоскости \(Ax + By + Cz = D\) вычисляется по формуле:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.\]
Подставляем координаты точки \(A\) (0, 7, 7) в уравнение плоскости \(\alpha\) и находим расстояние \(d\):
\[d = \frac{|0 + 7B + 7C - 0|}{\sqrt{7^2 + 4^2}} = \frac{|7B + 7C|}{\sqrt{65}}.\]
Теперь мы можем найти расстояние от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\) по формуле.
5. Вычисление расстояния:
\[d = \frac{|7B + 7C|}{\sqrt{65}} = \frac{7|B + C|}{\sqrt{65}}.\]
Из условия \(KB = 4\) мы можем выразить одну переменную через другую. Исходя из \(KB = 4\):
\[B^2 + K^2 = 4^2,\]
\[B^2 = 16 - K^2,\]
\[B = \sqrt{16 - K^2}.\]
Подставляем \(B\) в уравнение плоскости \(7\sqrt{16 - K^2} + 4C = 0\), и находим \(C = -\frac{49}{16K}\).
Подставляем \(C\) обратно в формулу для \(d\):
\[d = \frac{7\left|\sqrt{16 - K^2} - \frac{49}{16K}\right|}{\sqrt{65}}.\]
Теперь нужно вставить значение \(K = 4\) и решить это уравнение, чтобы найти конечное значение расстояния от вершины \(A\) до плоскости \(\alpha\), округленное до сотых.