В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной 1 ед. изм. на ребре A1D1 есть точка M, так что соотношение A1M:MD1=1:1. Найдите
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром длиной 1 ед. изм. на ребре A1D1 есть точка M, так что соотношение A1M:MD1=1:1. Найдите значение синуса угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью (BB1D1D).
Skvoz_Pyl 13
Чтобы решить данную задачу, давайте разобъем ее на более простые шаги.Шаг 1: Найдем координаты точек куба.
Для этого обозначим вершину куба A(0,0,0) и определим координаты других вершин.
Вершина B имеет координаты (1,0,0).
Вершина C имеет координаты (1,1,0).
Вершина D имеет координаты (0,1,0).
Вершина A1 имеет координаты (0,0,1).
Вершина B1 имеет координаты (1,0,1).
Вершина C1 имеет координаты (1,1,1).
Вершина D1 имеет координаты (0,1,1).
Шаг 2: Найдем координаты точки M.
Так как соотношение A1M:MD1 = 1:1, мы можем легко найти координаты точки M.
Складываем координаты A1 и D1 и делим их пополам, чтобы получить координаты M:
M = ((0+0)/2, (0+1)/2, (1+1)/2) = (0, 0.5, 1).
Шаг 3: Найдем вектор AM.
Для этого вычитаем координаты точки A (0,0,0) из координат точки M (0, 0.5, 1):
AM = (0-0, 0.5-0, 1-0) = (0, 0.5, 1).
Шаг 4: Найдем вектор, перпендикулярный плоскости BBD1D.
Поскольку плоскость BBD1D является диагональной плоскостью куба, она перпендикулярна ребру B1D.
Зная, что B1D имеет направляющий вектор (1,0,1), мы можем найти его перпендикулярный вектор следующим образом:
Перпендикулярный вектор = (-1,1,0), так как координаты направляющего вектора различаются только в одной координате, а слагаемые в перпендикулярном векторе противоположны.
Шаг 5: Найдем скалярное произведение векторов AM и перпендикулярного вектора.
AM * Перпендикулярный вектор = (0* -1) + (0.5 * 1) + (1 * 0) = 0 + 0.5 + 0 = 0.5.
Шаг 6: Найдем модуль вектора AM и перпендикулярного вектора.
Модуль вектора AM = √((0)^2 + (0.5)^2 + (1)^2) = √(0 + 0.25 + 1) = √1.25 ≈ 1.12.
Модуль перпендикулярного вектора = √((-1)^2 + (1)^2 + (0)^2) = √(1 + 1 + 0) = √2 ≈ 1.41.
Шаг 7: Найдем синус угла ϕ между AM и плоскостью BBD1D.
Синус угла ϕ = (AM * Перпендикулярный вектор) / (Модуль вектора AM * Модуль перпендикулярного вектора) = 0.5 / (1.12 * 1.41) ≈ 0.27.
Значение синуса угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BBD1D примерно равно 0.27.