Решить (с рисунком)! Плоскость α, которая является перпендикулярной катету AC прямоугольного треугольника

Чайный_Дракон

1

Ответ:

а) Утверждение: Отрезок EF параллелен отрезку BC.

Пояснение: Плоскость α, перпендикулярная катету AC, пересекает катет AC в точке E и гипотенузу AB в точке F. По свойству перпендикулярных прямых, если плоскость α перпендикулярна к одной из прямых, то она также будет перпендикулярна и ко второй прямой, то есть EF будет параллелен BC.

б) Утверждение: Треугольник AEF подобен треугольнику ACB.

Пояснение: У нас есть две параллельные прямые EF и BC, которые пересекают гипотенузу AB. По свойству параллельных прямых, соответственные углы будут равны. Таким образом, угол AEF будет равен углу ACB, а угол EAF будет равен углу BAC. Таким образом, у нас есть два треугольника с равными углами, следовательно, они подобны.

в) Длина отрезка EF:

Дано: \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}\) и длина AC (катета) - \(c\).

Мы можем сказать, что \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{3}{7}\) и \(\dfrac{EC}{AC} = \dfrac{4}{7}\), так как AE и EC образуют разделительную пропорцию на основании данного отношения.

Поскольку треугольник AEF подобен треугольнику ACB, мы можем использовать пропорции длин сторон:

\(\dfrac{EF}{AC} = \dfrac{AF}{AB}\)

Так как EF является разделителем этих пропорций, то мы можем записать:

\(\dfrac{EF}{AC} = \dfrac{AE+EF}{AC}\)

Теперь заменим AE на \(\dfrac{3}{7}AC\) (подставив значение из данной пропорции):

\(\dfrac{EF}{AC} = \dfrac{\dfrac{3}{7}AC + EF}{AC}\)

Сократим AC:

\(\dfrac{EF}{1} = \dfrac{3}{7} + \dfrac{EF}{AC}\)

\(\dfrac{EF}{1} - \dfrac{EF}{AC} = \dfrac{3}{7}\)

Общий знаменатель:

\(\dfrac{EF \cdot AC - EF}{AC} = \dfrac{3}{7}\)

Вынесем EF за скобку:

\(\dfrac{(AC-1)EF}{AC} = \dfrac{3}{7}\)

Выразим EF:

\(EF = \dfrac{AC}{AC-1} \cdot \dfrac{3}{7}\)

Подставим значение AC:

\(EF = \dfrac{c}{c-1} \cdot \dfrac{3}{7}\)

Таким образом, длина отрезка EF может быть найдена как \(\dfrac{c}{c-1} \cdot \dfrac{3}{7}\).