В кубе abcda1b1c1d1 указаны точки n и m на рёбрах b1c1 и c1d1 соответственно так, что b1n:nc1=1:1 и c1m:md1=1:1

Yaponec

25

Давайте внимательно изучим данную задачу. У нас есть куб \(abcda_1b_1c_1d_1\) с точками \(n\) на ребре \(b_1c_1\) и \(m\) на ребре \(c_1d_1\). Мы знаем, что отношения \(b_1n:nc_1 = 1:1\) и \(c_1m:md_1 = 1:1\).

Для начала, обозначим длину ребра куба через \(a\). Таким образом, длина отрезков \(b_1n\) и \(nc_1\) равна \(\frac{1}{2}a\), а длина отрезков \(c_1m\) и \(md_1\) также равна \(\frac{1}{2}a\).

Теперь давайте определим координаты точек \(b_1\), \(c_1\), \(n\), \(m\). Пусть точка \(b_1\) имеет координаты \((0, 0, 0)\). Тогда координаты точек \(c_1\), \(n\), \(m\) будут соответственно \((a, 0, 0)\), \((\frac{1}{2}a, \frac{1}{2}a, 0)\), \((\frac{1}{2}a, a, \frac{1}{2}a)\).

Теперь вычислим вектора прямых \(bn\) и \(cm\). Вектор \(\overrightarrow{bn}\) будет равен \(\langle \frac{1}{2}a, \frac{1}{2}a, 0 \rangle\), а вектор \(\overrightarrow{cm}\) будет равен \(\langle 0, \frac{1}{2}a, -\frac{1}{2}a \rangle\).

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов и их длины, чтобы найти косинус угла \(\alpha\):

\[cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{bn} \cdot \overrightarrow{cm}}{|\overrightarrow{bn}| \cdot |\overrightarrow{cm}|}\]

\[cos(\alpha) = \frac{\left(\frac{1}{2}a \cdot 0 + \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{2}a + 0 \cdot (-\frac{1}{2}a)\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + 0} \cdot \sqrt{0 + \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}a\right)^2}}\]

\[cos(\alpha) = \frac{\frac{1}{4}a^2}{\frac{1}{4}a \cdot \frac{1}{2}a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + \frac{1}{4}a^2}} = \frac{a}{\sqrt{\frac{5}{4}a^2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{5}}{2}a} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) между прямыми \(bn\) и \(cm\) равен \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).