В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Каков закон распределения случайной величины

Yangol

68

Для решения задачи, нам необходимо определить закон распределения случайной величины \(X\), которая представляет собой количество импортных телевизоров среди четырех наудачу выбранных.

Закон распределения определяется вероятностями всех возможных значений случайной величины. В данной задаче у нас есть 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Если мы выбираем 4 телевизора наудачу, то возможны следующие значения случайной величины \(X\):

0 импортных телевизоров,
1 импортный телевизор,
2 импортных телевизора,
3 импортных телевизора,
4 импортных телевизора.

Чтобы определить вероятности каждого значения, мы должны рассмотреть все возможные комбинации выбора телевизоров. Для каждого значения считаем количество сочетаний, подходящих для события, и делим его на общее количество возможных сочетаний.

Значение случайной величины \(X\) определяется количеством импортных телевизоров. Количество сочетаний выбора \(k\) импортных телевизоров из 3 импортных равно \(\binom{3}{k}\), а количество сочетаний выбора \(4-k\) отечественных телевизоров из 5 отечественных равно \(\binom{5}{4-k}\). Полное количество возможных сочетаний для выбора 4 телевизоров из 8 равно \(\binom{8}{4}\).

Теперь мы можем записать закон распределения случайной величины \(X\):

\[
P(X=0) = \frac{{\binom{3}{0} \cdot \binom{5}{4-0}}}{{\binom{8}{4}}}
\]

\[
P(X=1) = \frac{{\binom{3}{1} \cdot \binom{5}{4-1}}}{{\binom{8}{4}}}
\]

\[
P(X=2) = \frac{{\binom{3}{2} \cdot \binom{5}{4-2}}}{{\binom{8}{4}}}
\]

\[
P(X=3) = \frac{{\binom{3}{3} \cdot \binom{5}{4-3}}}{{\binom{8}{4}}}
\]

\[
P(X=4) = \frac{{\binom{3}{4} \cdot \binom{5}{4-4}}}{{\binom{8}{4}}}
\]

Теперь построим многоугольник распределения для случайной величины \(X\), где по горизонтальной оси отложены значения \(X\), а по вертикальной оси - их вероятности.